Ensino e aprendizagem das superfícies quádricas no ensino superior: uma análise baseada na teoria dos registros de representações semióticas com o uso do Geogebra

Abstract

Analisar gráficos de curvas e de superfícies é uma prática recorrente que não é exclusividade de pesquisadores e estudantes da área de Matemática. Do ponto de vista escolar, o estudo de curvas está constantemente presente nos Ensinos Fundamental, Médio e, ainda, em diversos cursos tanto de graduação quanto de pós-graduação. Já o estudo de superfícies, geralmente, inicia-se em diversos cursos de graduação e pode sofrer aprofundamentos em cursos de pós-graduações. O entendimento dos gráficos permite compreender diversas situações que são tanto internas quanto externas a Matemática. No Ensino Superior, dentre os tipos de superfícies incluem-se um conjunto que são conhecidas pelo nome genérico de superfícies quádricas ou, por simplicidade, também as chamamos de quádricas. Considerando a citada relevância das quádricas na compreensão de fenômenos e ainda admitindo dificuldades em sua aprendizagem, nesta Tese nos propomos a analisar o ensino e a aprendizagem das superfícies quádricas com especial atenção às quádricas não cilíndricas e não degeneradas (elipsoide; hiperboloide de uma folha; hiperboloide de duas folhas; cone quádrico elíptico; paraboloide elíptico; paraboloide hiperbólico). Teoricamente nos apoiamos na Teoria dos Registros de Representações Semióticas de Raymond Duval, sobretudo no que diz respeito a Abordagem de Interpretação Global de Propriedades Figurais, as Funções Discursivas da Linguagem e as operações cognitivas de Conversão e Tratamento. Do ponto de vista metodológico, recaímos nos pressupostos da Engenharia Didática e, fazendo uso de elementos dessa teoria, encontramos caminhos para conceber, planejar e executar nossa pesquisa. Com tais escolhas, articulando teoria e prática e dando ênfase aos aspectos qualitativos, analisamos as dimensões cognitivas, epistemológica e didática concernentes ao objeto de estudo e, perpassando por essas dimensões, ainda incluímos a dimensão semiótica segundo a teoria de Duval. De maneira mais específica, na análise preliminar, incluindo inicialmente uma Revisão Bibliográfica, analisamos as variáveis visuais, os registros simbólicos e suas unidades significantes simbólicas, os registros em língua natural bem como as articulações entre os diferentes registros das quádricas. Durante esse caminho, mesmo que de forma mais superficial, percebemos a necessidade de analisar tais elementos semióticos para as cônicas não degeneradas (elipse; parábola; hipérbole). Além disso, ainda na análise preliminar, analisamos os registros em língua natural presentes em alguns livros didáticos clássicos e, como fruto da identificação dos limites e possibilidades desses registros, propomos o uso de novos registros em língua natural. No fim dessa fase prévia, também elaboramos propostas de Sequências de Ensino para as quádricas. Nessas propostas, buscamos que a participação dos alunos estivessem em sintonia com a Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau e, ainda, adicionamos o uso do \emph{software} Geogebra. Particularmente o uso do Geogebra nessas sequências privilegiou a Abordagem Experimental em Educação Matemática preconizada por Marcelo de Carvalho Borba. Nas fases seguintes de nossa Engenharia Didática, em decorrência da disponibilidade dos alunos que participaram da fase experimental da pesquisa, nos voltamos apenas para os paraboloides elípticos padrão. Mesmo diante desse limite, temos como base que o estudo completo da Engenharia Didática (realização de todas as fases dessa metodologia) para esses paraboloides serve de modelo para o estudo das demais quádricas. Voltando as demais fases da pesquisa, na análise a priori, para cada atividade de ensino proposta, incluímos as seguintes variáveis de comando local: tipo de situação; objetivos; hipóteses. Na experimentação, montamos uma turma com um conjunto de dez alunos e, assim, nos voltamos para a parte empírica da pesquisa. Nas análises a posteriori e validação consideramos que a Sequência de Ensino que propomos e experimentamos foi validada. Ademais, principalmente a partir das Funções Discursivas da Linguagem, avaliamos qualitativamente as produções dos alunos frente às atividades que propomos. Como consequência desse trabalho, também avaliamos o potencial de nossa Sequência de Ensino, a aprendizagem e os processos cognitivos que os alunos mobilizaram. Nossas conclusões são que no decorrer do processo gradualmente as Funções Referencial e Expansão Discursiva necessárias para o progresso do discurso e paralelamente os Tratamentos e as Conversões (em duplo sentido) foram mobilizadas adequadamente pelos alunos. Inclusive, a evocação dos conteúdos presentes nas variáveis visuais, nos registros básicos simbólicos e suas unidades significantes simbólicas e nos registros básicos em língua natural que tomamos em todo o processo foram bem mobilizados pelos alunos e, dessa forma, vemos um bom uso do quadro teórico particularmente do tipo semiótico. Portanto, temos indícios de que diante de nossa Sequência de Ensino os processos cognitivos mobilizados pelos alunos evocaram adequadamente as variáveis cognitivas que tomamos como fundamentais para a aprendizagem. Por isso, certamente os alunos compreenderam os objetos trabalhados e, consequentemente, a Sequência que trabalhamos na experimentação tem um bom potencial de ensino. Porém, mesmo diante do já citado progresso gradual do discurso, temos clareza, conforme está bem detalhado nas análises a posteriori e validação da Tese, que durante o processo houve alguns problemas. Isso, claro, faz parte da prática pedagógica.

Abstract : Analyzing graphs with curves and surfaces is a recurring practice that is not exclusive to researchers and students of Mathematics. In a school setting, the study of curves is constantly present in Elementary, Middle and High School, as well as in several undergraduate and graduate courses. On the other hand, the study of surfaces generally starts in undergraduate courses and may be further studied in graduate courses. The understanding of the graphs allows knowing various situations that are both internal and external to Mathematics. In higher education, the types of surfaces include a set that are known by the generic name of quadric surfaces or, simply, quadrics. Considering the cited relevance of quadrics in the understanding of phenomena and still admitting difficulties in its learning, in this thesis, we propose to analyze the teaching and learning of quadric surfaces with special attention to noncylindrical and non-degenerate quadrants (ellipsoid, hyperboloid of one sheet, hyperboloid of two sheets, quadrilateral elliptical cone, elliptic paraboloid, hyperbolic paraboloid). Theoretically, we rely on Raymond Duval s Theory of Semiotic Representations, especially on the Global Interpretation Approach of Figurative Properties, the Discursive Functions of Language, and the Cognitive Operations of Conversion and Treatment. From the organizational point of view, we fall back on the assumptions of Didactic Engineering and, using elements of this theory, we find ways to conceive, plan and execute our research. With such choices, articulating theory and practice and emphasizing qualitative aspects, we analyze the cognitive, epistemological and didactic dimensions concerning the object of study and, through these proportions, we still include the semiotic dimension according to Duval s theory. More specifically, in the preliminary analysis, initially including a Bibliographic Review, we analyze the visual variables, the symbolic registers and the symbolic units, the natural language registers as well as the articulations between the different quadric registers. During this path, in a more superficial way, we perceive the necessity of analyzing such semiotic elements for the non-degenerate conics (ellipse, parabola, hyperbola). In addition to it, in the preliminary analysis, we analyze the natural language registers present in some standard textbooks and, as a result of the identification of the limits and possibilities of these registers, we propose the use of new records in the natural language. At the end of this preliminary phase, we have also elaborated proposals for Sequences of Teaching for quadrics. In these proposals, we wanted the participation of the students to be linked to Guy Brousseau s Theory of Didactic Situations and we also added the use of Geogebra software. In particular, the use of Geogebra in these sequences privileged the Experimental Approach in Mathematical Education advocated by Marcelo de Carvalho Borba. In the following phases of our didactic engineering, due to the availability of the students who took part in the experimental phase of the research, we focused only on the standard elliptical paraboloid. Even with this limit, we have as a base that the complete study of Didactic Engineering (completion of all phases of this methodology) for these paraboloids serves as a model for the study of other quadrics. Going back to the other phases of the research, in the priori analysis, for each proposed teaching activity, we included the following local command variables: type of situation; goals; hypotheses. For the experimentation, we gathered a class with ten students, and so we focused on the empirical part of the research. In the posteriori analysis and validation we considered that the Sequence of Teaching that we proposed and practiced has been validated. Furthermore, mainly from the Discursive Functions of Language, we qualitatively analyzed the productions of the students according to the activities that we proposed. As a consequence of this work, we also evaluated the potential of our Sequence of Teaching, the learning and the cognitive processes that the students experienced. Our conclusions are that during this process the Referential Functions and Discursive Expansion necessary for the progress of the study, and in parallel, the Treatments and Conversions (in a double sense) were adequately practiced by the students. In addition, the suggestion of the topics present in the visual variables, in the basic symbolic registers and their symbolic significant units and in the basic natural language registers that we used throughout the process were well operated by the students and, in this way, we see a good use of thetheoretical framework particularly of the semiotic type. Therefore, we believe that according to our Sequence of Teaching the cognitive processes used by the students adequately came across the cognitive variables we take as fundamental for learning. Thus, students have certainly understood the objects worked, and consequently the Sequence we worked with in the experimentation has a good teaching potential. However, even facing the above-mentioned gradual progress of discourse, we are certain, as it is well detailed in the posteriori analysis and validation of the Thesis, that during the process there have been some problems. This, of course, is part of the pedagogical practice.