Geometria axiomática pelo ponto de vista do Erlangen Programm de Felix Klein

Abstract

Este projeto visa explorar conexões entre o desenvolvimento axiomático da geometria Euclidiana plana com a abordagem analítica e diferencial a esse tópico, dando especial atenção ao tratamento das noções de congruência e paralelismo. Por seu sentido um tanto transversal ao currículo de geometria do curso de graduação em matemática da UFSC, espera-se que ele contribua significativamente para a formação do candidato a desenvolvê-lo, não apenas em termos de aquisição de cultura matemática, mas também de habilidades para estabelecer relações relativamente mais profundas entre diferentes áreas da Matemática. Em especial, pretende-se abordar a descoberta das geometrias não-Euclidianas via as históricas tentativas de demonstração do quinto postulado de Euclides em conjunto com a interpretação da congruência em geometria via isometrias, no espírito do consagrado programa Erlangen de Felix Klein. Com isso, obter os espaços-modelo clássicos R², RP² e H², que tipificam as geometrias completas de curvatura constante, como espaços homogêneos. A metodologia para o desenvolvimento dessas atividades foi a usual da Matemática, envolvendo consulta à bibliografia especializada e discussões com o orientador. Mais precisamente, o bolsista se encontrou semanalmente com o orientador para apresentar o conteúdo estudado, discutir exemplos e sanar dúvidas, em encontros de 1 hora e meia de duração. Resultados: a esmagadora maioria do plano de atividades foi concluída, tive uma evolução substancial em diferentes áreas da matemática e nas relações entre elas, conseguimos produzir um texto em português sobre o tema (cujas em fontes em português são escassas). Pouquíssimas etapas do plano de atividades exigiram alterações, como uma extensão do período estudando a parte algébrica e um foco nela maior do que na parte diferencial e categórica.