Exploração da Sequência de Fibonacci com geometria dinâmica: desenvolvimento de ferramentas e o Teorema de Zeckendorf

Abstract

A Sequência de Fibonacci é um tópico de pesquisa contínua e profundo em diversas universidades ao redor do mundo, devido à sua importância e aplicações em vários campos da matemática e ciências naturais. Nesta dissertação, exploramos aspectos elementares e interessantes dos números de Fibonacci, com foco nas propriedades fundamentais e suas aplicações em problemas matemáticos. O principal objetivo deste trabalho é fornecer ferramentas interativas e dinâmicas que facilitem o ensino e a compreensão dos núme- ros de Fibonacci. Desenvolvemos e avaliamos ferramentas em softwares educativos que incorporam visualizações interativas e métodos de aprendizado baseados em tecnologia, alinhadas com as diretrizes da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), para ajudar estudantes e pesquisadores a explorar e entender as propriedades e aplicações da sequência de Fibonacci de maneira mais envolvente e eficaz. Além disso, investigamos a relação entre a sequência de Fibonacci e um jogo de azar, um campo onde essas propriedades matemáticas podem ter aplicações inesperadas. Finalmente, nos transportamos para um cenário lúdico e pedagógico onde o teorema de maior complexidade do trabalho é apresentado: o Teorema de Zeckendorf. Esta dissertação apresenta uma contribuição significativa para a educação matemática, oferecendo novas ferramentas interativas que facilitam o aprendizado dos números de Fibonacci e atendem aos requisitos da BNCC. A pesquisa também destaca a relevância prática da sequência em um jogo de azar e oferece uma abordagem inovadora para o ensino do Teorema de Zeckendorf. A integração de tecnologias educativas e a exploração de conexões inesperadas entre matemática e jogos proporcionam novas perspectivas para o ensino e a aplicação da teoria dos números de Fibonacci.

Abstract: The Fibonacci Sequence is a topic of ongoing and profound research at universities world- wide due to its significance and applications across various fields of mathematics and natural sciences. This dissertation explores fundamental and intriguing aspects of Fibonacci numbers, focusing on their essential properties and applications to mathematical problems. The primary goal of this work is to provide interactive and dynamic tools that facilitate the teaching and understanding of Fibonacci numbers. We have developed and evaluated educational software tools incorporating interactive visualizations and technology-based learning methods, aligned with the guidelines of the Base Nacional Comum Curricular (BNCC), to help students and researchers explore and comprehend the properties and applications of the Fibonacci sequence in a more engaging and effective manner. Addition- ally, we investigate the relationship between the Fibonacci sequence and a game of chance, an area where these mathematical properties may have unexpected applications. Finally, we transition to a playful and pedagogical scenario where the most complex theorem of the work is presented: the Zeckendorf Theorem. This dissertation makes a significant contribution to mathematical education by offering new interactive tools that enhance the learning of Fibonacci numbers and comply with BNCC requirements. The research also highlights the practical relevance of the sequence in a game of chance and provides an innovative approach to teaching the Zeckendorf Theorem. The integration of educational technologies and the exploration of unexpected connections between mathematics and games offer new perspectives for teaching and applying the theory of Fibonacci numbers.