Restauração de imagens: uma abordagem didática para ensino de subespaços vetoriais

Abstract

Este trabalho apresenta um estudo sobre os problemas inversos de restauração de imagem, abordando os clássicos métodos de projeção TSVD e LSQR para solução de problemas de grande porte e sugere a abordagem dessa problemática na disciplina de Álgebra Linear do Ensino Superior, contribuindo para ampliar o entendimento de conceitos como Espaço Vetorial e Subespaço. Partindo do pressuposto que o processo de embaçamento de imagens é linear, algumas funções de propagação de ponto são apresentadas para posteriormente serem usadas na modelagem dos problemas de restauração. O método TSVD trunca a solução clássica de mínimos quadrados escrita em termos da decomposição em valores singulares da matriz A, descartando a informação relacionada aos menores valores singulares, a fim de amenizar a contribuição do ruído na solução. Embora este seja um método poderoso, o alto custo computacional necessário para calcular a SVD torna inviável sua utilização em problemas de grande porte. Já o método LSQR constrói uma sequência de soluções sobre os subespaços de Krylov K_j=(A^T A, A^T b) e obtém boa parte das informações relevantes do problema com relativamente poucas iterações. Para exemplificar esse fenômeno, o trabalho mostra o comportamento das soluções para alguns problemas numéricos com e sem ruído nos dados. Ao final, propõe uma sequência de aulas e alguns exercícios para uma primeira disciplina de Álgebra Linear que exploram os problemas de restauração de imagem com solução via método LSQR.

Abstract: This work presents a study on the inverse problems of image restoration, approaching the classical TSVD and LSQR projection methods to solve large-scale linear systems, and proposes to treat this problem in the Linear Algebra subject of higher education, which helps to broaden the understanding of concepts such as Vector Space and Subspace. Assuming that the image blurring process is linear, some Point Spread Function are introduced, which can be used later in modeling image restoration problems. The TSVD method truncates the naive least squares solution written in terms of the singular value decomposition of the matrix A, discarding the information related to the smallest singular values to mitigate the contribution of the noise in the solution. Although this is a powerful method, the high computational cost required to calculate the SVD makes its use unfeasible when dealing with large-scale problems. The LSQR method, on the other hand, generates a sequence of solutions on the Krylov subspaces K_j(A^T A, A^T b) and obtains much of the relevant information of the problem with relatively few iterations. To illustrate this phenomenon, the work shows the behavior of solutions to some numerical problems with and without noise in the data. At the end, it proposes a set of classes and some exercises for a first course of Linear Algebra that explore the problems of image restoration problems with the solution by the LSQR method.