Introdução à teoria de submersões semi-Riemannianas com aplicações

Abstract

Este trabalho se propõe a explorar alguns aspectos básicos das chamadas submersões semi Riemannianas, com aplicações geométricas na física-matemática. O estudo das submersões semi-Riemannianas tem um papel duplo: não apenas possibilita compreender como a estrutura geométrica da base se relaciona com a geometria do espaço total, elucidando o papel geométrico das fibras da submersão, como também generaliza a noção de produto torcido na geometria semi Riemanniana, servindo de modelo local ideal para as chamadas folheações semi-Riemannianas. Inicialmente, introduzimos a teoria geral das variedades semi-Riemannianas, definindo os objetos geométricos gerais que nos interessarão no restante do trabalho. Na sequência, analisamos as equações fundamentais das submersões semi-Riemannianas introduzidas no trabalho clássico de B. O’Neill. Por fim, abordamos duas aplicações no contexto da Relatividade Geral, as pp-waves, que descrevem modelos idealizados de ondas gravitacionais, e a teoria de Kaluza-Klein, que teve importância histórica numa tentativa inicial de unificar o eletromagnetismo e a gravitação.