Soluções topologicamente triviais em modelos com potencial não analítico

Abstract

Estudamos setores topologicamente triviais de teorias de campo com potenciais não analíticos, em torno de seu vácuo. Concentramo-nos em mínimos do tipo |f | para campos re- ais semelhantes a Klein-Gordon, levando ao chamado modelo de signum-Gordon. Derivamos várias formas analíticas de soluções para esse modelo. Em particular, estendemos as ondas de choque já conhecidas em (1+1) dimensões (Arodz et al. [2006]) a setores com simetria esférica em d = 2 e d = 3 dimensões espaciais ? fortemente corroborados via métodos numéricos ?, e construímos um arcabouço consistente para dimensões espaciais arbitrárias d > 3. Em seguida, utilizando métodos perturbativos, mostramos que o campo, por vezes considerado ?ultramas- sivo?, exibe um regime de comportamento livre semelhante ao de altas energias do modelo de Klein-Gordon. Essa análise permitiu derivar uma expressão analítica para a massa espectral do modelo, que depende unicamente da amplitude de uma onda incidente. Isso evidencia uma quebra da simetria global de escala do modelo. Por fim, apresentamos métodos inéditos para resolver suas equações de Euler-Lagrange por meio de mapeamentos padrão de equações di- ferenciais para equações algébricas no espaço de Fourier-Bessel. Nessa abordagem, o termo associado ao potencial é tratado como uma contribuição não homogênea, construída à partir de um ansatz inspirado em Arodz et al. [2008]; esses procedimentos viabilizaram a obtenção de soluções analíticas quase exatas em d = 3 e estabeleceram as bases para generalizações a dimensões arbitrárias. Palavras-chave: Estudamos setores topologicamente triviais de teorias de campo com potenciais não analíticos, em torno de seu vácuo. Concentramo-nos em mínimos do tipo |f | para campos re- ais semelhantes a Klein-Gordon, levando ao chamado modelo de signum-Gordon. Derivamos várias formas analíticas de soluções para esse modelo. Em particular, estendemos as ondas de choque já conhecidas em (1+1) dimensões (Arodz et al. [2006]) a setores com simetria esférica em d = 2 e d = 3 dimensões espaciais ? fortemente corroborados via métodos numéricos ?, e construímos um arcabouço consistente para dimensões espaciais arbitrárias d > 3. Em seguida, utilizando métodos perturbativos, mostramos que o campo, por vezes considerado ?ultramas- sivo?, exibe um regime de comportamento livre semelhante ao de altas energias do modelo de Klein-Gordon. Essa análise permitiu derivar uma expressão analítica para a massa espectral do modelo, que depende unicamente da amplitude de uma onda incidente. Isso evidencia uma quebra da simetria global de escala do modelo. Por fim, apresentamos métodos inéditos para resolver suas equações de Euler-Lagrange por meio de mapeamentos padrão de equações di- ferenciais para equações algébricas no espaço de Fourier-Bessel. Nessa abordagem, o termo associado ao potencial é tratado como uma contribuição não homogênea, construída à partir de um ansatz inspirado em Arodz et al. [2008]; esses procedimentos viabilizaram a obtenção de soluções analíticas quase exatas em d = 3 e estabeleceram as bases para generalizações a dimensões arbitrárias.

Abstract: We study topologically trivial sectors of field theories with non-analytic potentials around their vacuum. We focus on |f |-type minima for real fields analogous to the Klein?Gordon field, leading to the so-called signum?Gordon model. We derive several analytical solution fa- milies for this model. In particular, we extend the shock-wave solutions known in (1 + 1) dimensions (Arodz et al. [2006]) to spherically symmetric sectors in d = 2 and d = 3 spatial dimensions, and we construct a consistent framework for arbitrary spatial dimensions d > 3. Next, using perturbative methods, we show that the field?sometimes referred to as ?ultramas- sive??exhibits a free-like regime analogous to the high-energy behavior of the Klein?Gordon model. This analysis allows us to derive an analytical expression for the model?s spectral mass, which depends solely on the amplitude of an incident wave and thus demonstrates a bre- aking of the model?s global scale symmetry. Finally, we present novel methods for solving its Euler?Lagrange equations via standard mappings from differential to algebraic equations in Fourier?Bessel space. In this approach, the potential term is treated as a non-homogeneous contribution constructed from an ansatz inspired by Arodz et al. [2008]; these procedures ena- ble the derivation of quasi-exact analytical solutions in d = 3 and lay the groundwork for generalizations to arbitrary dimensions.