Mecânica quântica, quase-conjuntos e estruturas não-rígidas

Abstract

Nesta tese são discutidas questões relacionadas às noções de identidade e individualidade presentes nas teorias formais, mais precisamente atreladas ao conceito de estrutura rígida. Inicia-se o texto discorrendo sobre teorias de identidade do ponto de vista filosófico em geral, para depois explorarmos como este assunto é tratado na lógica, teoria de conjuntos e matemática clássica. Argumentamos que estas últimas teorias, ao assumir uma identidade para seus 'objetos', parecem se comprometerem também com a individualidade dos mesmos. Obviamente, poder-se-ia dizer que por serem formais, tais sistemas não deveriam se comprometer com uma metafísica, mas a ideia é exatamente que construímos tais sistemas para dar conta de alguma parcela da realidade e, assim, acabamos também nos comprometendo com algum tipo de metafísica (no caso, aqui, como defendemos, individualizadora). Em seguida mostramos que tudo leva a crer que na ciência moderna - em particular na mecânica quântica (MQ) - podemos encontrar objetos (as partículas quânticas) que podem ser entendidos como não possuindo identidade, tornando-se então não indivíduos de acordo com uma interpretação bastante plausível. Como argumentamos que as teorias formais usuais dão a impressão de se comprometerem com a identidade e individualidade de seus entes, novos formalismos parecem ser necessários (aqui, em especial relacionado ao uso de uma teoria de conjuntos alternativa) na qual se possa 'manipular' tal não individualidade quântica. Mostramos em seguida uma teoria conjuntista que foi formulada tendo em vista estes requisitos: a chamada teoria de quase-conjuntos (Q), na qual aparecem objetos (os chamados m-átomos) para os quais a lei reflexiva da identidade (x = x) não vale. Tal restrição (pensa-se) capta formalmente a 'perda da identidade' das partículas quânticas. Como argumentamos acima que objetos que têm identidade são indivíduos, a ausência da identidade para os m-átomos os fazem então não-indivíduos em certo sentido. Não obstante, algumas características das teorias clássicas poderiam impugnar mesmo tal teoria conjuntista alternativa: no nosso caso, estaremos preocupados com a noção de estrutura rígida, conceito este erigido em um arcabouço conjuntista. Uma estrutura é rígida quando seu único automorfismo for a função identidade. Em teorias de conjuntos clássicas, tais como a de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha, um teorema mostra que toda estrutura não-rígida pode ser estendida a uma rígida, de modo que a partir do único automorfismo existente é sempre possível dotar os elementos da estrutura de uma 'identidade'. Deste modo, em um primeiro momento, nos preocupa mostrar (através de uma análise bastante detalhada do teorema da rigidificação clássico) que algumas estruturas alicerçadas na teoria de quase-conjuntos - no caso, aquelas nas quais seus domínios contêm apenas m-átomos - não podem ser rigidificadas e, assim, acreditamos que realmente não podemos dotar os m-átomos de uma possível 'identidade'. Isto é importante, pois se mesmo estruturas fundamentas em Q pudessem ser rigidificadas, o intuito formal da teoria de quase-conjuntos (qual seja, manipular objetos para os quais a identidade não faz sentido) cairia por terra. A partir de tal impossibilidade, como mostraremos, esta teoria aparenta realmente ser um alicerce seguro para se manusear as partículas quânticas. Em seguida, daremos alternativas quase-conjuntistas a estes conceitos. Definiremos uma noção de quase-identidade e de quase-automorfismo, e provamos um teorema que mostra que toda quase-estrutura não quase-rígida pode ser estendida a uma quase-estrutura quase-rígida (resultado, assim, paralelo ao teorema clássico). Não obstante, agora destoante das estruturas clássicas, enfatizamos que mesmo em uma quase-rigidificação não estaremos introduzindo uma noção de identidade 'disfarçada' para os m-átomos, desta feita não se tornando o teorema provado um resultado opositivo aos preceitos básicos da teoria de quase-conjuntos. Em sequência, é discutido o uso das estruturas matemáticas para alicerçarem e fundamentarem as teorias científicas em geral e as vantagens que se pode obter disso. Construímos exemplos de estruturas que parecem servir para alicerçar tanto a MQ bem como a química em particular, e ressaltamos o ganho conceitual que obtemos em se erigir tais estruturas na teoria Q (exatamente pela não rigidificação das mesmas). Por fim, a partir da constatação de que algumas áreas da ciência parecem justificar efetivamente o uso de estruturas quase-conjuntistas, discutimos a possibilidade de irmos na direção de um 'pluralismo estrutural' - além de fortalecermos uma metafísica sem identidade - e defendemos a ideia de que a noção de identidade aparenta não ser tão essencial assim em alguns quadros teóricos bem justificados, tal como o nosso.<br>

Abstract : In this, thesis we discuss some questions about the notions of identity and individuality, in special connecting these subjects to the concept of the "rigid strucuture". In the beginning, we talk about the theories of identity in an general philosophical view, to speak later how the identity is handle in logic, set theory and classical mathemathics. We argue that these theories, to assume an identity for its 'objects', seem also to commit to an individuality to these objects. In sequence, we show that we have reasons to believe that in modern science - particularly, in quantum mechanics (QM) - we can found objects (the quantum particles) that can be understood as having no identity, thus becoming not-individuals (according to a very plausible interpretation). As we argue that the classical formal theories give the impression that they commit with identity and individuality for your objects, new formalisms seem to be necessary (here, especially related to the use of an alternative set theory) in which that we can 'manipulate' such quantum non-individuality. We show one set theory that was formulated in view of these requirements: the so-called quasi-set theory, where we have objects (the m-atoms) that do not respect the reflexive law of the identity (x = x). This restriction (it is thought) formally captures the 'loss of identity' of quantum particles. As argued above that objects having identity are individuals, the lack of identity for the m-atoms do make then not-individuals in a sense. Nevertheless, some features of the classical theories could even challenge this ensemblistic alternative theory: in our case, we are concerned with the notion of rigid structure; concept always erected on a set-theoretic framework. A structure is rigid when its only automorphism is the identity function. In classical theories of sets, such as Zermelo-Fraenkel with the axiom of choice, a theorem shows that every non-rigid structure can be extended to a rigid, so that with this only existing automorphism, is always possible to provide an 'identity' to the elements of the structure. Thus, at first, we will concern to show that some structures grounded in the theory of quasi-sets - in this case, those in which your domains have only m-atoms - cannot be rigidificate and, thus, we believe that we really cannot provide a possible identity to these m-atoms. This is important because if we make a possible rigidification to Q structures, the formal ideia of the theory of quasi-sets (manipulate objects for which identity does not make sense) would collapse. From such impossibility, as we will show, this theory appears to be a really good foundation to handle quantum particles. In sequence, we provide alternative quasi-ensemblistic notions to some classical concepts. We define a notion of quasi-identity and quasi- automorphism, and we prove a theorem that shows that all non quasi-rigid structure can be extended to a quasi-rigid structure (thus, a result similar to the classical theorem). Nevertheless, now unlike classical structures, we emphasize that even in a quasi-rigidification we will not can be introducing a notion of identity 'disguise' for m-atoms. In sequence, we discusses the use of mathematics to ground scientific theories with quasi-set structures, and the advantages that one can get it. We construct examples of structures that seem to serve to underpin both the QM and chemistry in particular, and we emphasize the conceptual gain that we get in erecting such structures in the theory Q. Finally, from the fact that some areas of science seem to effectively justify the use of quasi-set structures, we discussed the possibility of going towards to an 'structural pluralism ' -together with an reinforcement to an metaphysical without identity - and defend the idea that the notion of identity does not seem to be essential in some well-justified theoretical frameworks, such as our.