Redes neurais combinadas a um método de amostragem para o problema da tomografia por impedância elétrica

Abstract

No problema da Tomografia por Impedância Elétrica (EIT), queremos reconstruir uma imagem do interior de um corpo com base em sua condutividade elétrica, conhecendo correntes elétricas aplicadas e potenciais elétricos medidos sobre a sua superfície. Em vez de recuperar o valor de condutividade em cada ponto, métodos de amostragem trazem outra abordagem: classificar se cada ponto está no background, meio homogêneo de condutividade conhecida, ou numa inclusão, objetos de materiais e condutividades distintas. Neste trabalho, exploramos os métodos Deep-DSM, que combinam redes neurais ao chamado Método de Amostragem Direta (DSM). Originalmente, no DSM, resolvemos uma equação diferencial auxiliar e informamos a função obtida em uma fórmula direta, indicando a propensão de cada ponto estar em um dos conjuntos. Porém, tal fórmula apresenta algumas desvantagens. Sabendo que é possível fazer a classificação com essas funções auxiliares, mas que a fórmula conhecida tem suas adversidades, a ideia é usá-las como entradas de redes neurais para fazer essa classificação, conhecendo o potencial desses modelos de aprendizagem nesses problemas. Propõem-se duas arquiteturas de redes neurais distintas: uma profunda residual, usada para classificar pontualmente, e uma convolucional, gerando uma imagem com vários pontos classificados de uma vez. Sugerimos também uma adaptação heurística do Deep-DSM para o Modelo Completo de Eletrodos, que refina as condições de fronteira na EIT. Além dos estudos teóricos, fazemos uma série de experimentos numéricos para verificar a eficácia dos métodos. Os resultados reforçam o bom desempenho já conhecido dos métodos Deep-DSM, avaliados também em situações distintas das analisadas no artigo original, e mostram que a adaptação proposta para o modelo alternativo da EIT é promissora.

Abstract: In the Electrical Impedance Tomography (EIT) problem, we aim to reconstruct an image of the interior of a body based on its electrical conductivity, given applied electrical currents and measured electrical potentials on its surface. Instead of recovering the conductivity value at each point, sampling methods provide an alternative approach: classifying whether each point belongs to the background ? a homogeneous medium with known conductivity ? or to an inclusion, which represents objects made of materials with distinct conductivities. In this work, we explore the Deep-DSM methods, which combine neural networks with the so-called Direct Sampling Method (DSM). In the original DSM, we solve an auxiliary differential equation and use the resulting function in a direct formula that indicates the likelihood of each point belonging to one of the sets. However, this formula presents certain drawbacks. Since it is possible to perform the classification using these auxiliary functions, but the known formula has limitations, the idea is to use them as inputs to neural networks to carry out the classification, leveraging the potential of learning-based models in such problems. Two different neural network architectures are proposed: a deep residual network used for pointwise classification, and a convolutional network that generates an image by classifying multiple points simultaneously. We also suggest a heuristic adaptation of Deep-DSM for the Complete Electrode Model, which refines the boundary conditions in EIT. In addition to the theoretical developments, we perform a series of numerical experiments to evaluate the effectiveness of the methods. The results reinforce the previously known strong performance of the Deep-DSM methods ? also tested here in scenarios different from those considered in the original paper ? and show that the proposed adaptation for the alternative EIT model is promising.