Contributions to the boundary control and boundary state estimation of hyperbolic PDEs

Abstract

Sistemas com parâmetros distribuídos representam uma ampla classe de processos dinâmicos caracterizados pela presença de mais de uma variável independente, tipicamente tempo e espaço. Nessas situações, as equações que descrevem a dinâmica do sistema envolvem não apenas variações temporais, mas também gradientes espaciais, sendo portanto naturalmente modeladas por equações diferenciais parciais (EDPs). Tais sistemas surgem em diversas áreas da engenharia e das ciências aplicadas, incluindo processos químicos e térmicos, vibrações estruturais, sistemas de produção e distribuição de energia, bem como fenômenos associados ao transporte de fluidos. Nesta tese, investigam-se dois problemas fundamentais para sistemas descritos por equações diferenciais parciais hiperbólicas unidimensionais: o problema de estabilização por controle de contorno e o projeto de observadores de estado. Os resultados são desenvolvidos para classes de sistemas lineares, semilineares e quasilineares. Assume-se que o sistema de EDPs é heterodirecional, consistindo de $(n+m)$ equações de primeira ordem, sendo $n$ associado a velocidades características negativas e $m$ associado a velocidades características positivas. No caso linear, não são impostas hipóteses restritivas sobre os termos do sistema. Já nos casos semilinear e quasilinear, assume-se que o termo fonte e as condições de contorno satisfazem condições de Lipschitz adequadas. Embora a literatura sobre controle e estimação para sistemas hiperbólicos lineares seja relativamente bem estabelecida, os casos semilineares e quasilineares têm sido significativamente menos explorados. Nesse contexto, a extensão dos resultados de estabilização e estimação para essas classes mais gerais de sistemas constitui uma das principais contribuições desta tese. No problema de estabilização, considera-se que o sistema é atuado em uma das condições de contorno, enquanto as informações disponíveis para o projeto do controlador consistem apenas em medições de estado obtidas na condição de contorno oposta à atuação. A metodologia proposta baseia-se na teoria de estabilidade de Lyapunov, sendo as condições suficientes de estabilidade formuladas na forma de desigualdades matriciais lineares (LMIs, do inglês \textit{Linear Matrix Inequalities}). Essas condições permitem a síntese sistemática de controladores que garantem a estabilidade do sistema em malha fechada na norma $\mathscr{L}^{2}$. Resultados de simulação numérica são apresentados para ilustrar a efetividade e aplicabilidade do método. Com relação ao problema de estimação de estados, são considerados observadores do tipo Luenberger distribuído, os quais consistem em uma cópia das equações do sistema acrescida de termos de injeção de erro construídos a partir das medições disponíveis. De forma análoga ao problema de estabilização, os ganhos do observador são obtidos por meio de uma abordagem baseada em funções de Lyapunov, resultando em condições de projeto expressas como LMIs. Sob essas condições, demonstra-se que o erro de estimação converge para zero na norma $\mathscr{L}^{2}$, garantindo a reconstrução assintótica do estado do sistema. Os resultados obtidos foram testados numericamente em diferentes cenários para ilustrar a eficiência do método.

Abstract: Distributed parameter systems constitute a broad class of dynamical processes characterized by dependence on more than one independent variable, typically time and space. Their dynamics are naturally described by partial differential equations (PDEs), since both temporal variations and spatial gradients must be taken into account. Such systems arise in several areas of engineering and applied sciences, including chemical and thermal processes, structural vibrations, energy systems, and fluid transport phenomena. This thesis addresses two fundamental problems for systems governed by one-dimensional hyperbolic PDEs: boundary stabilization and state observer design. The results are developed for linear, semilinear, and quasilinear heterodirectional systems composed of \(n+m\) first-order equations, where \(n\) and \(m\) correspond to negative and positive characteristic velocities, respectively. In the linear case, no restrictive assumptions are imposed on the system terms, whereas in the semilinear and quasilinear cases, the source term and boundary conditions are assumed to satisfy suitable Lipschitz conditions. Since the literature is much more developed for linear hyperbolic systems than for semilinear and quasilinear ones, extending stabilization and estimation results to these broader classes constitutes one of the main contributions of this thesis. For the stabilization problem, the system is assumed to be actuated at one boundary, while only boundary measurements taken at the opposite side are available for controller design. A Lyapunov-based methodology is proposed, leading to sufficient stability conditions formulated as linear matrix inequalities (LMIs). These conditions enable the systematic design of controllers that ensure closed-loop stability in the \(\mathscr{L}^{2}\) norm. Numerical simulations are presented to demonstrate the effectiveness of the proposed approach. For the state estimation problem, distributed Luenberger-type observers are considered, consisting of a copy of the plant dynamics augmented by error-injection terms built from the available measurements. As in the stabilization framework, the observer gains are obtained through a Lyapunov-based approach, yielding LMI-based design conditions. Under these conditions, the estimation error is shown to converge to zero in the \(\mathscr{L}^{2}\) norm, ensuring asymptotic state reconstruction. Numerical examples are provided to illustrate the performance of the proposed method.