Desinvolvimento de algoritimos quânticos para resolver equações variacionais

Abstract

Este trabalho apresenta o desenvolvimento de uma abordagem baseada em computação quântica para a resolução de equações diferenciais, usando como problema de estudo a equação de Burgers unidimensional viscosa. A metodologia combina o método de Euler implícito para a discretização temporal com uma representação espacial baseada em funções de Walsh. A solução é codificada em um estado quântico e representada por um circuito parametrizado, cujos parâmetros são ajustados por um processo de otimização clássico. A função de custo é definida a partir do resíduo da equação de Burgers discretizada, e a evolução da solução ao longo dos passos temporais acontece de forma iterativa. Os resultados mostraram a redução da função de custo durante o treinamento, indicando a minimização do resíduo da equação. A evolução espaço-temporal obtida pelo método também foi comparada com a solução de referência, o que possibilitou avaliar o comportamento da representação baseada em funções de Walsh. Em uma segunda etapa do trabalho, foi investigada a possibilidade de reduzir o número de parâmetros usados pelo circuito. Duas abordagens foram consideradas: na primeira, o circuito completo é treinado e seus parâmetros são reduzidos depois; na segunda, a seleção é feita antes do treinamento, e o circuito reduzido já é treinado diretamente nessa forma. Foram comparados critérios baseados nos primeiros índices, no peso de Hamming e na magnitude dos parâmetros ou dos coeficientes de Walsh da condição inicial. Os resultados indicaram que reduzir o número de parâmetros pode manter soluções próximas à representação completa em determinadas configurações. Além disso, os coeficientes de Walsh da condição inicial se mostraram um critério promissor para selecionar previamente os parâmetros em circuitos mais reduzidos.