Grupos e suas ações: introdução à geometria do espaço-tempo e suas simetrias.

Abstract

Este trabalho apresenta um estudo de grupos e suas ações com o objetivo de caracterizar a folha superior do hiperboloide unitário como um espaço quociente do grupo restrito de Lorentz. A partir de uma revisão bibliográfica, desenvolvem-se os conceitos de homomorfismos, subgrupos, classes laterais e grupos quocientes, seguidos pelo estudo de ações de grupos, órbitas e estabilizadores. Introduzem-se as formas bilineares simétricas e não degeneradas e os espaços afins necessários à definição do espaço de Minkowski, modelo geométrico do espaço-tempo da Relatividade Restrita. Nesse contexto, estudam-se a estrutura causal e as transformações lineares que preservam a forma bilinear de Minkowski, as quais constituem o grupo de Lorentz. Analisam-se seus boosts, suas componentes conexas e sua estrutura de grupo de Lie. Por fim, estabelece-se que a ação do grupo restrito de Lorentz sobre a folha superior do hiperboloide unitário é transitiva e que o estabilizador de um ponto é isomorfo a $SO(3)$, obtendo-se a identificação $\mathbb{H}^{4}_{+} \cong O^{\uparrow}_{+}(1,3)/SO(3)$. Esse resultado caracteriza o hiperboloide como um espaço homogêneo e evidencia como a teoria das ações permite descrever um objeto geométrico por meio de suas simetrias.