Métodos espectrais para soluções periódicas: formulação Fourier–Chebyshev e extensão a sistemas semilineares de dimensão finita

Abstract

Este relatório reúne a fundamentação teórica e os resultados numéricos obtidos no projeto de iniciação científica, voltado ao estudo e à aproximação de soluções periódicas de problemas diferenciais por métodos espectrais. Para a equação bidimensional do calor, combina-se a representação de Fourier em t com aproximações por polinômios de Chebyshev em x e y, obtendo-se sistemas lineares independentes associados aos diferentes índices de Fourier. A formulação é avaliada numericamente em sistemas lineares de dimensão finita e na equação do calor com condições homogêneas de Dirichlet. Apresenta-se também uma extensão para sistemas semilineares de dimensão finita, formulada por meio de uma iteração de ponto fixo construída a partir do problema linear periódico. Os resultados numéricos mostram a redução do erro com o refinamento das aproximações temporal e espacial e ressaltam a importância da análise conjunta do erro, do resíduo e do condicionamento dos sistemas lineares.