É uma rede neural um aproximador universal?: uma prova do teorema da aproximação universal de Kolmogorov

Abstract

Este trabalho estuda uma prova do teorema de aproximação universal de Kolmogorov-Arnold, o qual estabelece que toda função contínua de múltiplas variáveis pode ser escrito como uma composição de funções de uma variável, focando em compreender a demonstração de tal teorema, completando os passos necessários para compreender sua conclusão. Para obter tal resultado, foram vistos conceitos de Análise Funcional, como espaços métricos completos, conjuntos densos e nunca densos, e o Teorema da Categoria de Baire, além de noções de convergência uniforme e séries de funções. A metodologia inclui revisão bibliográfica, modelagem matemática da rede neural de Kolmogorov- Lorentz e a demonstração detalhada da prova de Kahane [7], seguindo a abordagem mais moderna de Pestov [11]. Durante os resultados auxiliares, foi obtida a propriedade da genericidade de funções crescentes no espaço de funções não decrescentes, junto de resultados específicos para a conclusão do teorema. A prova culmina com a construção da função que desejávamos aproximar utilizando a convergência de séries telescópicas. Conclui-se que, embora sua aplicação prática em aprendizado de máquina é limitada pela natureza não construtiva e frequentemente não usual das funções internas envolvidas, o teorema forneça uma garantia existencial poderosa para a aproximação universal.