Quadratura do círculo: esse tal de π e sua transcendentalidade

Abstract

Este trabalho analisa a evolução histórica do problema da quadratura do círculo e apresenta, de forma rigorosa, os fundamentos teóricos que explicam sua impossibilidade no contexto da geometria euclidiana clássica. Para isso, são estudados os conceitos de números algébricos, transcendentes e construtíveis, bem como resultados centrais da teoria das extensões de corpos. Com base nessa estrutura teórica, demonstra-se que a transcendência do número π impossibilita a construção geométrica de um segmento de comprimento proporcional a π, etapa necessária para a quadratura. O estudo incorpora ainda métodos clássicos e modernos de aproximação de π, incluindo séries infinitas, produtos infinitos, procedimentos iterativos e algoritmos de alta precisão, ressaltando a distinção fundamental entre aproximação numérica e construtibilidade geométrica. Por fim, discute-se o potencial didático do tema, destacando sua capacidade de articular história, geometria, álgebra e análise matemática.