Robustness results for nonuniform exponential dichotomies

Abstract

Nesta dissertação, investigamos dicotomias exponenciais não uniformes em processos de evolução discretos e contínuos em espaços de Banach. No caso discreto, demonstramos que a existência e unicidade de soluções limitadas para equações não homogêneas em espaços de sequências ponderadas, juntamente com o decaimento exponencial das soluções homogêneas para frente e para trás, implicam a admissibilidade de uma dicotomia exponencial não uniforme. Demonstramos também que, sob a condição de que o expoente da dicotomia seja estritamente maior que o expoente de não uniformidade, a família de projeções instáveis é única, depende continuamente do processo e a dicotomia é robusta sob pequenas perturbações lineares. Estendemos esses resultados ao cenário contínuo através da técnica de discretização, possibilitando a transposição direta das propriedades discretas. Por fim, analisamos um outro tipo de dicotomia exponencial não uniforme, mostrando que os dois tipos são complementares e se aplicam em diferentes exemplos. Também estabelecendo um resultado de robustez desta nova dicotomia para processos de evolução invertíveis em espaços reflexivos.

Abstract: In this dissertation, we investigated nonuniform exponential dichotomies in discrete and continuous evolution processes in Banach spaces. In the discrete setting, we demonstrated that the existence and uniqueness of bounded solutions to nonhomogeneous equations in weighted sequence spaces, combined with the exponential decay of forward and backward homogeneous solutions, imply the admissibility of a nonuniform exponential dichotomy. We further showed that, under the condition that the dichotomy exponent is strictly greater than the nonuniformity exponent, the family of unstable projections is unique, depends continuously on the process, and the dichotomy is robust under small linear perturbations. We extended these results to the continuous setting via the discretization technique, allowing for the direct transposition of the discrete properties. Finally, we analyze another type of non-uniform exponential dichotomy, showing that the two types are complementary and apply to different examples. We also establish a robustness result for this new dichotomy for invertible evolution processes in reflexive spaces.