Blown-up singular Riemannian foliations

Abstract

Nesta dissertação de mestrado investigamos novas propriedades do método de desingularização por blow-up no contexto de folheações Riemannianas singulares. Primeiramente, relacionamos a dinâmica de tais folheações (governada pelo chamado feixe de Molino) com a dinâmica de seu blow-up. No caso particular das folheações de Killing singulares, isso conduz a uma forte restrição sob hipóteses topológicas: a saber, as folhas de tais folheações são todas fechadas, desde que a característica de Euler da variedade ambiente seja não nula e que todos os seus estratos singulares tenham codimensão ímpar. Em seguida, relacionamos a cohomologia básica de uma folheação Riemanniana singular com a de seu blow-up, generalizando resultados clássicos bem conhecidos da geometria algébrica e da geometria complexa. Por fim, mostramos que o espaço dos fechos das folhas de uma folheação de Killing singular é o limite de Gromov?Hausdorff de uma sequência de orbifolds, cujas dimensões são iguais à codimensão da folheação.

Abstract: In this master dissertation we investigate new properties of the blow-up desingularization method in the context of singular Riemannian foliations. First, we relate the dynamics of such a foliation, which is governed by the so called Molino sheaf, with that of its blow-up. In the particular case of singular Killing foliations, this leads to a strong constraint under mild topological assumptions: namely, the leaves of such foliations are all closed, provided the Euler characteristic of its ambient manifold is non-vanishing and its singular strata are all odd-codimensional. Next, we relate the basic cohomology of a singular Riemannian foliation with that of its blow-up, generalizing well-known, classical analogous results in algebraic and complex geometry. Finally, we show that the space of leaf closures of a singular Killing foliation is the Gromov?Hausdorff limit of a sequence of orbifolds, whose dimensions are the codimension of the foliation.