Maximal attractors for multivalued semiflows and structure of attractors for non-autonomous cascade systems

Abstract

Esta tese investiga dois problemas interligados em sistemas dinâmicos: a dinâmica de semifluxos multivaluados lentamente dissipativos e a estrutura de atratores uniformes para sistemas cascata nao-autônomos. Primeiro, desenvolvemos a teoria de atratores maximais para semifluxos multivalorados, onde soluções podem crescer ilimitadamente quando o tempo vai para infinito, e nao há necessariamente unicidade, e o aplicamos a uma inclusão diferencial envolvendo a função de Heaviside multivalorada, estabelecendo resultados de existência e estrutura para esse atrator. Em segundo lugar, inspirados por sistemas em cascata autônomos, analisamos um problema não-autônomo em cascata em espaços de Banach, no qual o comportamento assintótico da primeira coordenada (desacoplada) influencia a segunda. Ao analisar a dinâmica de longo prazo da equacão não-autônoma em x e, em seguida, examinar a dinamica resultante de y para cada estado assintotico de x, fornecemos uma descrição completa da estrutura de gradiente do sistema em dois casos: um mais abstrato e geral, com menos hipoteses sobre f ; e outro em um nível mais aprofundado de descrição, quando o termo f(t, x) e assintoticamente autônomo.

Abstract: This thesis investigates two interconnected problems in dynamical systems: the dynamics of slowly dissipative multivalued semiflows and the structure of uniform attractors for non-autonomous cascade systems. First, we develop a framework for maximal attractors in multivalued semiflows, where solutions may grow unbounded as time goes to infinity and we might not have uniqueness, and apply it to a differential inclusion involving the multivalued Heaviside function, establishing existence and structural results for this attractor. Second, inspired by autonomous cascade systems, we analyze a non-autonomous cascade problem in Banach spaces, where the asymptotic behavior of the decoupled first coordinate influences the second. By first analyzing the long-time dynamics of the nonautonomous x-equation and then examining the resulting y-dynamics for each asymptotic state of x, we provide a complete description of the system's gradient structure in two cases: a more abstract and general, with less hypotheses on f , and a deeper level of description, when the term f(t,x) is asymptotically autonomous.