Introdução à Análise Convexa

Abstract

Este trabalho apresenta uma revisão de conceitos fundamentais em Análise Convexa, partindo de noções preliminares de topologia no espaço euclidiano até a teoria de subgradientes para funções não-suaves.Inicialmente, são estabelecidas as propriedades geométricas dos conjuntos convexos, incluindo a preservação da convexidade sob operações de interseção e transformações afins, a unicidade da projeção ortogonal sobre conjuntos fechados e convexos e os teoremas de separação por hiperplanos. Em seguida, o estudo avança para as funções convexas, primeiramente no espaço unidimensional e depois generalizadas para mais dimensões. A conexão entre a convexidade de uma função e a convexidade de seu epígrafo é explorada como ferramenta central. São discutidas as importantes propriedades de regularidade, como a continuidade em domínios abertos e os critérios de convexidade baseados na primeira e segunda derivadas, culminando na caracterização via semidefinição positiva da matriz Hessiana. Por fim, introduz-se o conceito de subgradiente como uma generalização do gradiente para funções convexas não-diferenciáveis. Demonstra-se que o subdiferencial é um conjunto não vazio, convexo e compacto.