C*-envelopes e o teorema de Hamana

Abstract

Nesta monografia, exploraremos as aplicações completamente positivas e sua contribuição para a construção do $C^*$-envelope de uma álgebra de operadores. Inicialmente, abordaremos álgebras de matrizes sobre uma $C^*$-álgebra, elementos positivos, aplicações positivas e completamente positivas. Checamos as propriedades de álgebras comutativas para aplicações completamente positivas. Em seguida, provaremos o Teorema de Krein e abordaremos os operadores trace-class juntamente com a topologia $BW$ para provarmos o Teorema de Arveson. Provamos também o Teorema de Wittstock. Também, estudamos os espaços $I$ tais que para espaços normados $E\subset F$, com $\phi:E\to I$ completamente contrativa admitem uma extensão completamente contrativa $\widetilde{\phi}:F\to I$ com $\left.\widetilde{\phi}\right|_E=\phi$. Finalizamos provando o Teorema de Hamana que trata sobre a existência do $C^*$-envelope de uma álgebra de operadores.

Abstract: In this monograph, we will explore completely positive maps and their contribution to the construction of the $C^*$-envelope of an operator algebra. Initially, we will discuss matrix algebras over a $C^*$-algebra, positive elements, positive and completely positive maps. We will check the properties of commutative algebras for completely positive maps. Then, we will prove Krein's Theorem and discuss trace-class operators together with the $BW$ topology to prove Arveson's Theorem. We will also prove Wittstock's Theorem. We also study the spaces $I$ such that for normed spaces $E\subset F$, with completely contractive $\phi:E\to I$ admit a completely contractive extension $\widetilde{\phi}:F\to I$ with $\left.\widetilde{\phi}\right|_E=\phi$. We conclude by proving Hamana's Theorem which deals with the existence of the $C^*$-envelope of an operator algebra.