Dupla abordagem do Kriging para projeto experimental ótimo bayesiano

Abstract

A análise de experimentos é fundamental para a geração de conhecimento científico em diversas áreas da engenharia. Em contextos práticos, onde os experimentos podem ser limitados pela disponibilidade de recursos, o projeto experimental ótimo (OED) é uma importante ferramenta para maximizar a eficiência e a relevância dos dados obtidos. O objetivo do OED é obter a melhor configuração experimental, otimizando uma métrica que quantifica o ganho de informação de um experimento, garantindo que os dados coletados sejam os mais informativos. No contexto Bayesiano, a eficácia de um experimento pode ser quantificada pelo ganho de informação esperado de Shannon (SEIG). No entanto, esse método envolve a avaliação de uma integral dupla que apresenta dois desafios principais. Primeiramente, essas integrais, frequentemente de alta dimensionalidade, dificilmente possuem soluções analíticas. Em segundo lugar, em diversos modelos, a computação do SEIG requer o uso de ferramentas numéricas computacionalmente intensivas, como métodos de elementos finitos. Essas características tornam o processo de otimização do SEIG computacionalmente dispendioso. Neste trabalho, é proposto uma dupla abordagem do Kriging, para resolver de forma eficiente problemas OED Bayesiano. A metodologia é estruturada em duas etapas. Na primeira, o metamodelo do Kriging substitui o modelo original direto, aumentando a eficiência computacional na avaliação do SEIG, estimado por meio do método de Monte Carlo de laço duplo. Na segunda etapa, o processo de otimização emprega o EGO, que requer a construção de um novo metamodelo do Kriging como substituto direto do SEIG. No EGO, é aplicado o critério de melhoria esperada como critério de preenchimento. Outra vantagem dessa metodologia é reduzir o problema da dimensionalidade tipicamente associada aos modelos substitutos do Kriging. Nessa estratégia, a primeira etapa do Kriging foca na modelagem do espaço das variáveis incertas, enquanto a segunda etapa se dedica à modelagem do espaço dos parâmetros de projeto a serem otimizados, evitando a necessidade de construir um modelo do Kriging em ambos os espaços simultaneamente. Essa segmentação permite que a metodologia proposta seja mais eficiente, especialmente em espaços de alta dimensionalidade. O método foi aplicado a três problemas de OED Bayesiano. O primeiro é um modelo genérico não-linear, com dois parâmetros a serem otimizados e duas variáveis incertas. Já o segundo e o terceiro exemplo consistem em posicionar, vertical e horizontalmente, extensômetros com base nas deformações da viga pela teoria de Timoshenko. No segundo exemplo, o objetivo é otimizar um único extensômetro para inferir sobre os módulos de elasticidade transversal e longitudinal da viga, resultando em dois parâmetros a serem otimizados e duas variáveis incertas. E o terceiro exemplo consiste em posicionar dois extensômetros para caraterizar três cargas verticais pontuais e suas respectivas posições, resultando em quatro parâmetros a serem otimizados e seis variáveis incertas. Os resultados demonstram que a dupla abordagem do Kriging (EGO-KR) solucionou eficazmente os problemas analisados, proporcionando boa acurácia e economias computacionais significativas, especialmente no terceiro e mais complexo exemplo.

Abstract: The analysis of experiments provides scientific knowledge across various fields of engineering. In practical scenarios where experiments may be constrained by resource availability, optimal experimental design (OED) stands out as an essential tool for maximizing the efficiency and relevance of the data obtained. The goal of OED is to obtain the best experimental configuration by optimizing a metric that quantifies the information gain from an experiment, ensuring that the collected data are the most informative and relevant for the desired application. In the Bayesian context, the effectiveness of an experiment can be quantified by the Shannon's expected information gain (SEIG). However, this method involves evaluating a double integral that presents two main challenges. First, these integrals, which can be high-dimensional, rarely have an analytical solution. Second, in several models, the calculation of SEIG requires the use of computationally intensive numerical tools, such as finite element methods. These characteristics make the SEIG optimization process computationally expensive. In this work, we propose a two-step Kriging approach to efficiently solve Bayesian OED problems. To enhance computational efficiency in evaluating the SEIG, we introduced a Kriging surrogate as a replacement for the original forward model (step 1 Kriging). This surrogate is utilized within the double loop Monte Carlo method for SEIG estimation. We employed the efficient global optimization (EGO) algorithm as the optimizer, which requires the construction of a Kriging surrogate of the SEIG (step 2 Kriging). Within EGO, the expected improvement infill criterion was employed. The underlying rationale of employing a two-step Kriging approach is to alleviate the curse of dimensionality typically associated with Kriging surrogates. In this strategy, the first step of Kriging is focused on surrogating the random parameter space, while the second step is dedicated to modeling the design variable space. By taking this two-step approach, the need to build a global replacement for the model in both spaces is avoided. This segmentation allows for more efficient and accurate surrogate modeling, particularly in high-dimensional spaces, enhancing the overall computational performance of the optimization process. The method was applied to three OED problems. The first is a generic nonlinear model, with two parameters to be optimized and two uncertain variables. The second and third examples involve positioning strain gauges, both vertically and horizontally, based on the beam deformations according to Timoshenko's theory. In the second example, the objective is to optimize a single strain gauge to infer the transverse and longitudinal elasticity moduli of the beam, resulting in two parameters to be optimized and two uncertain design variables. The third example involves positioning two strain gauges to characterize three vertical point loads and their respective positions, resulting in four parameters to be optimized and six uncertain design variables. The results demonstrate that the proposed two-step Kriging approach (EGO-KR) effectively addressed the analyzed problems, offering good precision and significant computational savings, particularly in the third and more complex example.