Leis de estímulo-resposta e intervalo dinâmico de modelos Glauber-Ising adaptativos

Abstract

A hipótese da criticalidade do cérebro sustenta que o cérebro de mamíferos deve funcionar num estado com uma dinâmica de ponto crítico, e esse ponto crítico deve ser alcançado pela dinâmica de maneira auto-organizada. Uma adaptação do modelo de Ising (conhecida como modelo de Hopfield) é empregada para estudar o aparecimento de memórias associa- tivas em redes neurais, onde cada spin representa um neurônio de dois estados: +1 = ativo (emitindo spikes) e -1 = inativo (neurônio em silêncio). Além disso, um procedimento de auto-organização do modelo de Ising para o ponto crítico foi proposto através de uma dinâmica de maximização da susceptibilidade. Olhando para o modelo de Ising com uma dinâmica de Glauber como representativo de um sistema neural, investigaremos a sensibi- lidade do sistema a estímulos externos, e também as condições de convergência ao ponto crítico de uma dinâmica de auto-organização crítica. Propomos uma dinâmica de Glauber não-Markoviana que resulta numa equação de recorrência no tempo equivalente à do modelo ANNNI (Axial Next Nearest Neighbor Ising) na rede de Bethe, onde cada camada desta rede corresponde à um passo de tempo na dinâmica de Glauber de campo médio. Desta maneira, podemos utilizar a linha de pontos críticos do diagrama de fases do modelo ANNNI para guiar nosso estudo. Empregamos duas medidas de sensibilidade: a lei de Stevens, que rela- ciona a intensidade da entrada (campo magnético) à intensidade da saída (magnetização), e seu intervalo dinâmico correspondente. O intervalo dinâmico é a faixa de estímulos tempo- rais que causam uma variação sensível na resposta macroscópica do sistema, sendo crucial para entender o processamento de sinais em sistemas sensoriais do cérebro. Essas medidas serão aplicadas à três sistemas: dinâmica Glauber-Ising equivalente à ANNNI (modelo I); e duas extensões homeostáticas dessa dinâmica: a primeira utilizando um método de maximi- zação da susceptibilidade magnética (modelo II); e a segunda utilizando uma temperatura dinâmica acoplada à magnetização (modelo III). Mostramos que o intervalo dinâmico é ma- ximizado ao longo da linha crítica, incluindo no ponto de Lifshitz (modelo I). Verificamos as condições de convergência para ambos os modelos II e III, e traçamos suas leis de estímulo- resposta, calculando seus intervalos dinâmicos. Os resultados indicam que a convergência do sistema para o ponto crítico depende dos parâmetros da dinâmica homeostática na tempe- ratura (modelos II e III). Ainda, identificamos dois regimes de processamento distintos no modelo II; entretanto, um deles some a medida que a taxa de adaptação é variada, sobrando apenas um regime equivalente ao do modelo I. O modelo III demonstrou maior robustez na convergência ao ponto crítico, tal que a resposta do sistema à estímulos externos se tornou transiente. Isso acarretou em leis de estímulo-resposta com um intervalo dinâmico muito pequeno, prejudicando seu processamento de informação.

Abstract: The brain criticality hypothesis posits that the mammalian brain should operate in a state with critical point dynamics, and this critical point should be achieved via self-organization. An adaptation of the Ising model (known as the Hopfield model) is employed to study the emergence of associative memories in neural networks, where each spin represents a neuron in one of two states: +1 = active (firing spikes) and -1 = inactive (silent neuron). Additionally, a procedure for the self-organization of the Ising model to the critical point was proposed through a dynamic that maximizes temporal autocorrelation. By looking at the Ising model with Glauber dynamics as representative of a neural system, we will investigate the system?s sensitivity to external stimuli, as well as the conditions for the convergence to the critical point of a self-organizing critical dynamic. We propose a non-Markovian Glauber dynamics that results in a time recurrence equation equivalent to that of the ANNNI (Axial Next Nearest Neighbor Ising) model on the Bethe lattice, where each layer of this lattice corresponds to a time step in the mean-field Glauber dynamics. In this way, we can use the critical line in the phase diagram of the ANNNI model to guide our study. We employ two measures of sensitivity: Stevens? law, which relates the input intensity (magnetic field) to the output intensity (magnetization), and its corresponding dynamic range. The dynamic range is the range of temporal stimuli that causes a noticeable variation in the macroscopic response of the system, which is crucial for understanding signal processing in sensory systems of the brain. These measures will be applied to three systems: a Glauber-Ising dynamics equivalent to ANNNI (model I); and two homeostatic extensions of this dynamics: the first using a method of maximizing magnetic susceptibility (model II); and the second using a dynamic temperature coupled to magnetization (model III). We show that the dynamic range is maximized along the critical line, including at the Lifshitz point (model I). We verify the conditions of convergence for both models II and III and plot their stimulus-response laws, calculating their dynamic ranges. The results indicate that the system?s convergence to the critical point depends on the parameters of the homeostatic dynamics in temperature (models II and III). Furthermore, we identify two distinct processing regimes in model II; however, one of them disappears as the adaptation rate is varied, leaving only one regime equivalent to model I. Model III demonstrated more robust convergence to the critical point, such that the system?s response to external stimuli became transient. This resulted in stimulus-response laws with a very narrow dynamic range, impairing its capacity to process information.