Otimização sem derivadas: discussão e aplicabilidade no ensino básico

Abstract

A otimização sem derivadas é a área matemática aplicada que busca atualização de funções com técnicas que não fazem uso da diferenciação. Seus estudos iniciaram na década de 1960, e evoluíram nos anos posteriores, dando origem a vários métodos e aplicações. São treinados os métodos de otimização de R² em R baseado em simplex (Nelder-Mead e Busca Multidirecional) e de Busca Direta Direcional (Busca Direta e Busca Direta Direcional), e alguns métodos de otimização unidimensional (Busca pela Seção Áurea e Interpolação Parabólica Sucessiva ). Sua teoria é visitada, com a listagem dos principais teoremas que garantem sua convergência e resultados, com algumas projeções e a explicação de seus algoritmos. Os métodos de Nelder-Mead e da Busca Direta são testados em algumas funções, bem como o método da Busca pela Seção Áurea e da Interpolação Parabólica Sucessiva, e seus resultados de iterações fáceis, erro e tempo de máquina, comparados. Por fim, traça-se um paralelo entre a modelagem matemática, a resolução de problemas, a otimização e a Base Nacional Comum Curricular (BNCC), e propõe-se uma sequência didática para sua utilização no ensino médio, explorando as potencialidades e interações entre estes agentes do ensino da matemática.

Abstract: Derivative-free optimization is the applied mathematical field that seeks to optimize functions using techniques that do not rely on differentiation. Its studies began in the 1960s and evolved in the subsequent years, giving rise to various methods and applications. The methods for optimizing R2 in R2 based on simplex (Nelder-Mead and Multidirectional Search) and Directional Direct Search (Direct Search and Directional Direct Search) are examined, as well as some one-dimensional optimization methods (Golden Section Search and Successive Parabolic Interpolation). Its theory is explored, listing the main theorems guaranteeing its convergence and results, along with some demonstrations and an explanation of its algorithms. The Nelder-Mead and Direct Search methods are compared, as well as the Golden Section Search and Successive Parabolic Interpolation methods, in terms of required iterations, error, and machine time. Finally, a connection is drawn between mathematical modeling, problem solving, optimization, and the Common National Curriculum Base (BNCC), and a didactic sequence is proposed for its use in high school education, exploring the potential and meaningful interactions among these elements in the teaching of mathematics.