Bifurcation analysis of non-smooth dynamical systems with multiple boundaries

Abstract

O objetivo desta tese é estudar a dinâmica de sistemas descontínuos suaves por partes (DPWS) que exibem mais de um limite de comutação, ou seja, limites de múltiplas descontinuidades. Em particular, são estudados sistemas 2D/3D-DPWS com dois contornos de descontinuidade que normalmente são dados por hipersuperfícies (planos). Mais precisamente, pretendemos investigar os diferentes cenários que podem aparecer nos retratos de fase de sistemas DPWS quando um parâmetro real gera uma perturbação do sistema permitindo mudanças qualitativas na dinâmica desses sistemas. Essa classe de fenômenos dinâmicos leva ao estudo de bifurcações em sistemas DPWS e pode revelar bifurcações clássicas como sela-nó, Hopf, forquilha etc. e bifurcações induzidas por descontinuidade (DIBs) que são exclusivas de sistemas suaves por partes. Dentro deste antigo grupo de bifurcações estão as bifurcações de equilíbrio de contorno (BEBs) e as lbifurcações deslizantes? características por ter um segmento deslizante no limite da descontinuidade. Uma abordagem clássica é adotada para estudar esta classe de sistemas dinâmicos e para a dinâmica de emoções que podem ocorrer no limite da descontinuidade, a convecção de Filippov é usada. Nesse sentido, este trabalho apresenta uma análise qualitativa e receptiva das bifurcações e seus ajustes, em particular, das codimensões 1 e 2 que envolvem equilíbrios naturais, equilíbrios de contorno, pseudo-equilíbrios, ciclos limite e superfícies invariantes. Apresentamos contribuições originais que são a partir do estudo da teoria de sistemas DPWS aplicada em três diferentes estudos de caso em eletrônica de potência e um sistema presa-predador Lotka-Volterra modelado por dois predadores competindo por uma presa e incluindo ações de colheita. A primeira aplicação considera um sistema de balanceamento de tensão de capacitores em um conversor modular multinível (MMC) usando uma lei de controle de modo deslizante (SMC). A segunda aplicação é para um conversor buck CC-CC bidirecional alimentando uma carga não linear do tipo potência constante (CPL). Este sistema é composto por dois conversores buck conectados em uma estrutura em cascata, sendo o primeiro um conversor buck controlado por um SMC e o segundo conversor modelado por um CPL deonido por uma função por partes. A terceira aplicação consiste no estudo da dinâmica global de um sistema Lotka-Volterra descrito por duas espécies de predadores competindo por presas com a ação humana de colher as espécies de predadores. A quarta aplicação é sobre a análise da dinâmica não linear de um conversor DC-DC buck controlado por uma lei de controle de modo deslizante (SMC) conectado em paralelo a dois conversores de potência onde um deles é um conversor boost e outro é um conversor buck, ambos modelados por uma função CPL por partes. Além disso, apresentamos simulações numéricas para um melhor entendimento da dinâmica dos sistemas em questão e para veriocar os resultados teóricos obtidos. A quarta aplicação é sobre a análise da dinâmica não linear de um conversor DC-DC buck controlado por uma lei de controle de modo deslizante (SMC) conectado em paralelo a dois conversores de potência onde um deles é um conversor boost e outro é um conversor buck, ambos modelados por uma função CPL por partes. Além disso, apresentamos simulações numéricas para um melhor entendimento da dinâmica dos sistemas em questão e para veriocar os resultados teóricos obtidos. A quarta aplicação é sobre a análise da dinâmica não linear de um conversor DC-DC buck controlado por uma lei de controle de modo deslizante (SMC) conectado em paralelo a dois conversores de potência onde um deles é um conversor boost e outro é um conversor buck, ambos modelados por uma função CPL por partes. Além disso, apresentamos simulações numéricas para um melhor entendimento da dinâmica dos sistemas em questão e para veriocar os resultados teóricos obtidos.

Abstract: The aim of this thesis is to study the dynamics of discontinuous piecewise-smooth systems (DPWS) that exhibit more than one switching boundary, i.e. multiple discontinuity boundaries. In particular, 2D/3D-DPWS systems with two discontinuity boundaries that are usually given by line/planes are studied. More precisely, we aim to investigate the different scenarios that can appear in the phase portraits of DPWS systems when a real parameter generates a disturbance of the system being able to manifest qualitative changes in the dynamics of these systems. This class of dynamical phenomena leads to the study of bifurcations in DPWS systems and can reveal classic bifurcations such as saddle-node, Hopf, Pitchfork, etc., and discontinuity induced bifurcations (DIBs) that are unique to piecewise smooth systems. Within this former group of bifurcations are theboundary equilibrium bifurcations (BEBs) and the lsliding bifurcations? characterized by having a sliding segment at the discontinuity boundary. A classical geometric approach is adopted to study this class of dynamical systems and for the sliding dynamics that may occur on the discontinuity boundary, the Filippov convection method is used. In this sense, this work presents a qualitative and geometrical analysis of the bifurcations and their unfolding, in particular, of codimension 1 and 2 that involve natural equilibria, boundary equilibria, pseudo-equilibria, limit cycles and surfaces. We present original contributions which are obtained from the study of DPWS systems theory applied in three different case studies in power electronics and in a prey-predator Lotka-Volterra system modeled by two predators competing for one prey and including harvesting actions. Theorst application considers a capacitors voltage balancing system in a modular multilevel converter (MMC) using a sliding mode control law (SMC). The second application is for a bidirectional dc-dc buck converter feeding a nonlinear load of constant power-type (CPL). This system is composed of two buck converters connected in a cascade structure, the orst being a buck converter controlled by a SMC and the second converter modeled by a CPL deoned by a piecewise function. The third application consists of the study of the global dynamics of a Lotka-Volterra system described by two species of predators competing for prey with human action of harvesting the species of predators. The fourth application is on the analysis of the nonlinear dynamics of a DC-DC buck converter controlled by a sliding mode control (SMC) law connected in parallel to two power converters where one of them is a boost converter and the other is a buck converter, both modeled by CPL piecewise functions. In addition, we present numerical simulations for a better understanding of the dynamics of the systems in question and to verify the theoretical results obtained.