Semigrupos generalizados, boa colocação de problemas singulares e estabilidade exponencial

Abstract

Neste trabalho, olhamos para um problema de Cauchy singular (ou degenerado) abstrato, num espaço de Banach, da forma Edu/dt= Au, t>0 u(0)=u_{0} onde E é um operador não-necessariamente injetor, nos casos linear e não-linear. Buscamos encontrar relações e condições sobre A e E para que, dado u_{0} em algum conjunto conveniente de dados inicias, possamos encontrar uma solução da equação que esteja definida para todo tempo t >0. Tais soluções definem o que chamamos de semigrupos generalizados. Por fim, buscaremos condições necessárias e suficientes que garantam a estabilidade exponencial de tais semigrupos generalizados.

Abstract: In this work, we turn our attention to a singular (or degenerate) abstract Cauchy problem, in a Banach space, of the form Edu/dt= Au, t>0 u(0)=u_{0} where E is not necessarily an injective operator, in the linear and nonlinear cases. We search relations and conditions on A and E so that, given u_{0} in a convenient set of initial data, we can find a solution for the equation that is defined for all t >0. Such solutions define what we call generalized semigroups. Also, we find necessary and sufficient conditions to ensure the exponential stability of such generalized semigroups.