Hyper-dual sensitivity analysis: a second-order evaluation in structural problems

Abstract

Neste trabalho relata-se o emprego dos números hiperduais como uma ferramenta de diferenciação automática num contexto de análise de sensibilidade. O procedimento hiperdual permite a obtenção de resultados exatos, tanto para a primeira como para a segunda derivada; apesar desta importante característica, sua aplicação no âmbito de sensibilidade em problemas estruturais não havia sido observada. Para tanto, tendo em vista a ocorrência de grandezas tensoriais na formulação de elementos finitos, foi necessário o desenvolvimento das operações aritméticas pertinentes à conversão hiperdual de uma função tensorial. Este avanço permite, por exemplo, o cômputo automático das derivadas da matriz de rigidez em relação a um vetor contendo as variáveis de projeto. Nesse contexto, enfatiza-se que as operações hiperduais contemplam informações no nível do elemento, com o intuito de restringir o tamanho dos tensores envolvidos e, assim, mitigar o seu impacto no esforço computacional. Além de uma descrição considerando estruturas de comportamento não linear, foram avaliadas particularizações assumindo hipóteses de linearidade e focando nos termos da diagonal principal da matriz Hessiana. Esta proposta simplificadora, também aplicada às operações hiperduais, reduz sobremaneira o custo computacional, tornando-se mais viável em termos de aplicação em problemas de engenharia. Salienta-se que o método descrito para análise de sensibilidade é geral, sendo capaz de acomodar uma variedade de formulações ou configurações de problemas. Esta associação com uma ferramenta de diferenciação automática permite que a técnica atinja interessante nível de generalidade. Desse modo, este estudo fundamentalmente atua no sentido de facilitar o emprego de algoritmos de segunda ordem para a solução de problemas de projeto mecânico considerando ferramentas de otimização. Ademais, uma vez que esta ferramenta de diferenciação pode ser utilizada em outros ramos do conhecimento, além da mecânica dos sólidos computacional, são apresentados fragmentos relevantes do código, facilitando aplicações e aprimoramentos futuros.

Abstract: We report the use of hyper-dual numbers to obtain accurate derivatives in a second-order design sensitivity study. For this purpose, we develop the arithmetic operations that define the conversion of a tensor-valued function into hyper-dual numbers. Hence, by using hyper-dual numbers as the differentiation tool, we evaluate an element-level approach to evaluate the derivatives of the internal force and the tangent stiffness. Besides describing the general expressions considering structures with nonlinear behavior, we also present a particularized version focusing on the diagonal terms of the Hessian in linear structures. With modest modifications, this diagonal sensitivity scheme is significantly lighter in terms of computational costs, which facilitates its application in engineering problems. The proposed method shows interesting generality aspects due to the implementation strategy with the operator overloading technique; in this case, the sensitivity scheme can adapt itself to a variety of finite element formulations or problem settings. As this differentiation scheme using hyper-dual numbers also represents a black-box tool for general purposes, we supply the computer implementation written in Fortran. The implications of this study are primarily related to design optimization, as the hyper-dual sensitivity scheme promotes the use of second-order optimization algorithms, which may allow better convergence rates to solve intricate problems in engineering applications.