Extensions for probabilistic constrained programming problems: the cases of non-continuous unit commitment and bilinear energy portfolio management

Abstract

O presente estudo explora métodos para utilizar conjuntos convexos em problemas com Restrições Probabilísticas de forma eficiente a fim de resolver aplicações de otimização com precisão. No primeiro tópico da tese é proposto um método para resolver o problema de Unit Commitment hidrotérmico estocástico por meio da Programação Linear Inteira Mista. Este problema, em sua forma mais comum, procura definir para um dado sistema o cronograma de geração hidrotérmico de suas unidades, considerando o acoplamento temporal e espacial, com o objetivo de suprir a demanda e minimizando os custos de despacho. Do ponto de vista das incertezas que podem ser levadas em conta no modelo estão as fontes de energia alternativa, como a eólica e fotovoltaica, as afluências naturais e as demandas de energia. Para resolver o problema, propomos o modelo de otimização por Restrições Probabilísticas que define soluções obedecendo um limite de probabilidade. O problema de programação contém funções (contínuas) analíticas de distribuição que caracterizam a abordagem por Restrições Probabilísticas. Neste quadro, para o primeiro tópico do trabalho, propõe-se um método de Restrições Probabilística por hiperplanos suportes. Esse método oferece soluções factíveis exatas quanto ao nível de probabilidade, lidando com conjuntos factíveis não contínuos que caracterizam o problema de Unit Commitment hidrotérmico estocástico linear inteiro misto. A performance do algoritmo proposto foi atestada por meio de comparações numéricas com estratégias alternativas de se lidar com problemas de Restrições Probabilísticas. A eficácia do método também foi testadas em um sistema de 46 barras, envolvendo 10.657 variáveis (1.512 binárias) e 25.618 restrições, mostrando que o método também é apropriado para sistemas complexos. No segundo tópico da tese, explora-se outra estrutura de Restrições de Probabilidade, caracterizada por restrições que possuem variáveis aleatórias que multiplicam as de decisão. A literatura define este tipo de estrutura como bilinear, comumente encontrada em aplicações de gestão de portfólio de ativos, por exemplo. O estudo apresenta a comprovação de que essas estruturas podem ser classificadas como um mapa localmente concavo generalizado, possibilitando o uso de uma combinação de algoritmos próprios de programação convexa, para assim resolver uma classe de problemas mais ampla. O algoritmo é testado em um problema de portfólio de energia de uma distribuidora, onde os riscos de ganhos e perdas de um cesta de contratos expostos aos preços de curto prazo foram controlados por uma Restrição Probabilísticas bilinear e bilateral.

Abstract: The present work explores methods to efficiently make use of convex sets in Probabilistic Constrained (PC) problems to solve energy optimization applications accurately. The first topic is related to a method to deal with the stochastic Hydrothermal Unit Commitment (HTUC) problem through Mixed-Integer Linear Programming (MILP). The standard stochastic HTUC problem intends to define the (hydrothermal) units' generation schedule for a given system, considering its time and space coupling, aiming at the load demand supply with minimal dispatch costs. Regarding the uncertainties, the alternative energy sources, like wind or photovoltaic, the natural river inflows and the load demand can possibly be taken into account. To solve the problem, we propose a probabilistically constrained (PC) optimization model finding solutions obeying a probability threshold. The programming problem contains analytic (continuous) distribution functions that distinguish the PC approach. In this framework, by the first topic of the work, we propose a supporting hyperplane PC method that offers exact feasible solutions in terms of the probability level, handling the non-continuous feasible set that distinguishes the stochastic HTUC MILP problems. We attest the performance of the proposed algorithm by numerical comparisons with commonly used strategies that handle with PC problems. The capabilities of the method are also tested in a 46-bus system, which involves 10,657 variables (1,512 binaries) and 25,618 constraints, showing that the method is also affordable for complex systems. In the second topic of the thesis, we explore a different structure of PC, when random variables multiply the decision ones. The literature defines this type of structure as bilinear, commonly found among asset portfolio applications, for instance. As a research contribution, we prove that such structures can be classified as a locally generalized concave mapping, turning possible the use of a combination of proper convex programming algorithms to solve a broader class of problems. We efficiently test the algorithm in a utility energy portfolio problem, where a two-sided bilinear PC controls the risks of gains and losses of a basket of contracts exposed to the short-term energy price.