o - evolution models with low regular time-dependent structural damping

Abstract

Neste trabalho consideramos modelos de evolução s sob o efeito de um termo de amortecimento representado pela ação do operador laplaciano com potência fracionária e coeficiente dependendo do tempo dado por b(t)(-?)?ut. O objetivo do trabalho é obter taxas de decaimento do tipo Lp-Lq com 1= p = 2 = q = 8 para a solução e sua primeira derivada no tempo, considerando baixa regularidade no coeficiente b = b(t). Escrita de maneira equivalente, uma importante conjectura afirmava que: ?Para ?=0, quando o coeficiente do amortecimento é efetivo, mesmo sem assumir hipóteses sobre a derivada do coeficiente, é possível obter as mesmas taxas de decaimento para o problema?. No presente trabalho fornecemos uma resposta à conjectura, mostrando inclusive que há outras situações na qual a conjectura também permanece válida. Por exemplo, ? 6= 0 ou ainda em casos em que a dissipação é não-efetiva.

Abstract : In this work, we consider s-evolution models under effects of a damping term represented by the action of a fractional Laplacian operator and a time-dependent coefficient b(t)(-?)?ut. The objective of this work is to obtain Lp-Lq decay rates, with 1= p = 2 = q = 8, for the solution and its first derivative in time, considering low regularity in the coefficient b = b (t). Written in a equivalent manner, an important conjecture was asserting: ?For ?=0, when the coefficient of the damping is effective, without further assumptions on derivatives of the coefficient is still possible to achieve the same known decay rates for the problem?. In the present work we provide an answer to the conjecture, showing, in addition, that there are other situations in which the conjecture remains valid, for example ??0 or even in the case that the damping is non-effective.