Invariância positiva de domínios poliédricos para sistemas lineares na perspectiva do operador delta

Abstract

Na literatura, são disponíveis métodos para obter conjuntos positivamente invariantes para sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto usando o operador avanço. No entanto, não foram encontradas referências mostrando como desenvolver métodos usando o operador delta nas principais bases de dados científicas. As propriedades de invariância positiva são usadas para, no sistema de malha fechada, respeitar as restrições nos estados do sistema e nas entradas de controle. Nesta dissertação, relações de invariância positiva de conjuntos poliédricos são propostas no contexto do modelo de operador delta para sistemas lineares de tempo discreto. A abordagem do operador delta é conhecida por ser de interesse quando se usam altas taxas de amostragem e também permite unificar conceitos e resultados em tempo discreto e em tempo contínuo. Neste contexto, as relações de invariância positiva do operador delta propostas, que são obtidas a partir dos resultados do operador avanço clássico, também mostram recuperar as relações de invariância de tempo contínuo quando o período de amostragem tende a zero. Mostra-se por meio de simulações que o desempenho do sistema de malha fechada em tempo discreto melhora à medida em que o período de amostragem diminui para o operador delta, diferentemente do operador avanço. Uma abordagem de programação linear também é proposta no contexto do operador delta para resolver o Problema de Regulação Linear sob Restrições em tempo discreto. Dois exemplos numéricos são explorados para mostrar que a solução do operador delta proposta se aproxima da solução de tempo contínuo quando o período de amostragem é pequeno. Além disso, apresenta uma análise e síntese de controladores em sistemas lineares discretos com o operador delta sujeitos a atuadores saturados.

Abstract : In the literature, methods are available to obtain positively invariant sets for continuous-time and discrete-time systems using the shift operator. However, it was not found references showing how to develop methods using the delta operator in the main scientific databases. The positive invariance property is used to, in the closed-loop system, enforce the constraints in the system's states and in the control inputs. In this dissertation, positive invariance relations of polyhedral sets are proposed in the context of the delta operator model for linear discrete-time systems. The delta operator approach is known to be of interest when using high sample rates and it also allows to unify discrete-time and continuous-time concepts and results. In this context, the proposed delta operator positive invariance relations, which are obtained from the classical shift operator results, are also shown to recover the continuous-time invariance relations when the sample period approaches zero. It is shown by simulations that the performance of the discrete-time closed-loop system improves as the sampling period decrease for the delta operator, differently from the shift operator. A linear programming optimization approach is also proposed in the context of the delta operator to solve a discrete-time Linear Constrained Regulation Problem. Two numerical examples are exploited to show that the proposed delta operator solution closely follows the continuous-time one when the sampling period is small. Also, it presents a analysis and synthesis of controllers in delta operator linear discrete systems subject to saturated actuators.