Algoritmo adaptativo para o método dos elementos finitos com bases wavelet ortogonais segundo operador

Abstract

Funções wavelet possibilitam a representação esparsa de operadores integrais e diferenciais através de uma aproximação multi-resolução. Esta propriedade é apropriada para implementação de forma adaptativa de métodos numéricos, tópico que é comum entre pesquisadores nos dias de hoje. O estado atual da teoria wavelet possibilita também a construção de transformadas personalizadas de acordo com a aplicação de forma flexível, o que é uma característica importante considerando que a generalização de técnicas envolvendo wavelets para aplicações reais ainda é limitada. Esta tese propõe um método dos elementos finitos wavelet adaptativo com o objetivo de obter ortogonalidade segundo operador entre espaços de aproximações, uma propriedade que elimina acoplamento entre níveis de resolução um problema comum para muitos métodos adaptativos. O método resultante é facilmente estendido a qualquer aplicação real do método dos elementos finitos e exige um menor custo computacional quando comparado com outras técnicas adaptativas. Estas características são demonstradas comparando a técnica proposta com o popular refinamento-h utilizando simulações de modelagem de dispositivos eletromagnéticos envolvendo condições de contorno de Dirichlet e Neumann, meios não lineares e heterogêneos, e discretizações irregulares.

Abstract : Wavelets provide sparse representation of integral and differential operators through a multiresolution approximation. This property is well-suited for adaptive implementation of numerical techniques, which is a common topic among researchers nowadays. The current state of the wavelet theory also allows flexible construction of transforms customized for certain applications, which is an important feature considering that the generalization of wavelet techniques to a large class of real-world numerical simulations is still limited. This thesis proposes an adaptive wavelet finite element method for achieving operator-orthogonality between approximation spaces, a property which eliminates coupling among levels of resolution a common shortcoming of several adaptive methods. The resulting method is easily extended to any given real-world finite element application and requires less computation power when compared to other adaptive techniques. These features are showcased by comparing the proposed technique to the popular h-refinement method using electromagnetic device modelling simulations involving Dirichlet and Neumann boundary conditions, inhomogeneous and non-linear media, and irregular discretizations.