Dynamic Boundary Control of Coupled PDE-ODE systems

Abstract

Abstract: This work studies boundary control strategies for stability analysisand stabilization of rst-order hyperbolic system coupled withnonlinear dynamic boundary conditions. The modeling of a owinside a pipe (uid transport phenomenon) with boundary controlstrategy applied in a physical experimental setup is considered as acase study to evaluate the proposed strategies. Firstly, in the contextof nite dimension systems, classical control tools are appliedto deal with rst-order hyperbolic systems having boundary conditionsgiven by the coupling of a heating column dynamical modeland a ventilator static model. The tracking problem of this complexdynamics is addressed in a simple manner considering linear approximations,nite dierence schemes and an integral action leading toan augmented discrete-time linear system with dimension dependingon the step size of discretization in space. Hence, for the innitedimensional counterpart, two strategies are proposed to address theboundary control problem of rst-order hyperbolic systems coupledwith nonlinear dynamic boundary conditions. The rst one approximatesthe rst-order hyperbolic system dynamics by a pure delay.Then, convex stability and stabilization conditions of uncertain inputdelayed nonlinear quadratic systems are proposed based on theLyapunov-Krasovskii (L-K) stability theory which are formulatedin terms of Linear Matrix Inequality (LMI) constraints with additionalslack variables (introduced by the Finsler's lemma). Thus,strictly Lyapunov functions are used to derive an LMI based approachfor the robust regional boundary stability and stabilizationof rst-order hyperbolic systems with a boundary condition denedby means of a nonlinear quadratic dynamic system. The proposedstability and stabilization LMI conditions are evaluated consideringseveral academic examples and also the ow inside a pipe casestudy.

Este trabalho estuda estratégias de controle de contorno para análise de estabilidade e estabilização de sistemas hiperbólicos de primeira ordem, juntamente com condições de contorno dinâmicas não lineares. A modelagem de um fluxo dentro de um tubo (fenômeno de transporte de fluidos) com estratégia de controle de contorno aplicada em uma instalação experimental física é considerada como um estudo de caso para avaliar as estratégias propostas. Em primeiro lugar, no contexto de sistemas de dimensões finitas, ferramentas de controle clássicas são aplicadas para lidar com sistemas hiperbólicos de primeira ordem com condições de contorno, dada pelo acoplamento de um modelo dinâmico de coluna de aquecimento e um modelo estático de ventilador. O problema de rastreamento dessa dinâmica complexa é abordado de forma simples, considerando aproximações lineares, esquemas de diferenças finitas e uma ação integral que leva a um sistema linear de tempo discreto aumentado com dimensão dependendo do tamanho do passo da discretização no espaço. Assim, para a contrapartida dimensional infinita, são propostas duas estratégias para abordar o problema de controle de limites de sistemas hiperbólicos de primeira ordem, juntamente com condições de fronteira dinâmicas não-lineares. O primeiro aproxima a dinâmica do sistema hiperbólico de primeira ordem por um atraso puro. Em seguida, são propostas condições de estabilidade e estabilização convexas de sistemas quadráticos não lineares retardados de entrada incerta com base na teoria da estabilidade de Lyapunov-Krasovskii (LK) que são formuladas em termos de restrições de desigualdades matriciais lineares (LMIs) com variáveis de folga adicionais (introduzidas pelo lema de Finsler) . Assim, funções de Lyapunov estritas são utilizadas para derivar uma abordagem baseada em LMIs para a estabilidade robusta regional do contorno e estabilização de sistemas hiperbólicos de primeira ordem com uma condição de contorno definida por meio de um sistema dinâmico quadrático não linear. As condições propostas de estabilidade e estabilização das LMIs são avaliadas considerando vários exemplos acadêmicos e também o fluxo dentro de um estudo de caso de tubulação.