Métodos de regularização iterativos para problemas discretos mal postos de grande porte

Abstract

Neste trabalho apresentamos os métodos de regularização iterativos da família SIRT(Simultaneous Iterative Reconstruction Techniques),ART (Algebraic Reconstruction Techniques), ART por blocos e o método LSQR para problemas discretos mal-postos de grande porte. Essesmétodos são baseados na observação que boa parte das informações relevantes da solução são capturadas nas primeras iterações, e que à medida que as iteradas prosseguem a qualidade das aproximações é deteriorada pela influência do ruído nos dados. Essa propriedade é conhecida como semiconvergência. A ideia dos métodos de regularização iterativa é calcular as iteradas até um certo ponto em que a qualidade das iteradas começa a incorporar o ruído nos dados. Para contornar esta dificuldade, a semiconvergência dos métodos da família SIRT é analisada e, baseados em estimativas do erro nos dados, são introduzidos dois critérios de parada chamados de Princípio de Discrepância e a Regra de Erro Mon ótono. Além disso, para o caso em que nenhuma estimativa do ruído é disponível, são introduzidos o critério NCP (Normalized Cumulative Periodogram) e a regra do produto mínimo, introduzido recentemente. Os métodos são aplicados a problemas testes da literatura bem como a problemas de reconstrução de imagens.<br>

Abstract : We study iterative regularization methods for large discrete ill-posed problems based on the Simultaneous Iterative Reconstruction Technique (SIRT), the Algebraic Reconstruction Technique (ART) and the LSQR method. Iterative regularization relies on the observation that for many iterative methods, in the early stages of the algorithm, the iterates capture most of relevant information of the solution, then the quality of the iterates deteriorates and nally the iterates become useless as a consequence of the in uence of noise in the data. This property is known as semi-convergence. Therefore, stopping the iteration after a well chosen number of iterates has a regularizing eect. In order to overcome the diculties, the semi-convergence for SIRT methods is analyzed and two stopping criteria based on a priori knowledge of the error norm are introduced called the Discrepancy Principle and the Monotone Error Rule. In addition, for the case where no estimate of the error norm is available, the NCP (Normalized Cumulative Periodogram) and the Minimum Product Rule recently introduced in literature are also considered The methods are applied to well-known test problems and deblurring problems.<br>