Simulações de teorias de campo para sistemas magnéticos

Abstract

A aproximação de campo médio para o modelo de Ising que descreve a transição ferromagné-tica, conhecida como aproximação de Bragg-Williams, bem como a teoria de Landau associada,podem ser tomadas como modelos efetivos coarse-grained para descrever a transição ferromagné-tica em largas escalas. Ao invés de um spin, agora a variável de estado relevante do sistema é oparâmetro de ordem, que representa a magnetização local f(x ). Enquanto na teoria de Landauf pode tomar valores no intervalo -8 < f < 8, no caso de Bragg-Williams f está restrito aointervalo -1 = f = 1. Em geral, nesses modelos os parâmetros dependem explicitamente da tem-peratura. No entanto, em contextos do grupo de renormalização e aplicação da teoria de Landaua transformações de fase em materiais, muitas vezes os parâmetros do modelo são tomados comvalores constantes. Sendo assim distinguimos três modelos efetivos para a transição ferromagné-tica: a teoria de Bragg-Williams; a teoria de Landau, tomada como uma versão da teoria anteirortruncada na quarta potência na expansão em série de Taylor do parâmetro de ordem; e a mesmateoria de Landau, porém com parâmetros que não dependem explicitamente da temperatura.Para levar em conta novamente as flutuações térmicas e entender como a temperatura induz atransição de fase nesses modelos efetivos, são feitas simulações desses modelos em contato comum banho térmico através da equação de Langevin. Essa equação é uma equação diferencialparcial estocástica, diferente para cada modelo, que pode ser integrada por métodos explícitose implícitos, tanto no espaço real quanto no espaço de Fourier. No caso mais simples da teoriaLandau, o método semi-implícito no espaço de Fourier se mostrou mais eficiente computacional-mente. As simulações foram feitas em duas dimensões e análises de tamanho finito preliminaresparecem indicar que os três modelos preservam a classe de universalidade do modelo de Ising.As propriedades de baixa temperatura são bem descritas apenas pelo modelo efetivo baseadona aproximação de Bragg-Williams, onde a temperatura crítica é mais afetada pelas flutuaçõestérmicas.

Abstract : The mean field approximation for the Ising model describing the ferromagnetic transition, knownas the Bragg-Williams approximation, well as the associated Landau theory, can be taken ascoarse-grained efetive models to describe the ferromagnetic transition in large scales. Insteadof a spin, the relevant system state variable is the order parameter, which represents the localmagnetization f(x ). While in Landau?s theory f can take values in the range -8 < f < 8, inthe case of Bragg-Williams f is restricted to the range -1 = f = 1.In general, in these models theparameters explicitly depend on temperature. However, in contexts of the renormalization groupand application of Landau?s theory to phase transformations in materials, often the parametersof the model are taken with constant values. Thus we distinguish three effective models forthe ferromagnetic transition:The Bragg-Williams theory; Landau?s theory, taken as a versionof the prior theory truncated in the fourth power in the Taylor series expansion of the orderparameter; and the same Landau theory, but with parameters that do not depend explicitlyon temperature. In order to take into account thermal fluctuations again and to understandhow temperature induces the phase transition in these effective models, simulations are madeof these models in contact with a thermal bath through the Langevin equation. This equationis a stochastic partial differential equation, different for each model, which can be integrated byexplicit and implicit methods, both in real space and in Fourier space. In the simplest case of theLandau theory, the semi-implicit method in the Fourier space proved to be more computationallyefficient. The simulations were done in two dimensions and preliminary analyzes of finite sizeseem to indicate that the three models preserve the universality class of the Ising model. Thelow temperature properties are well described only by the effective model based on the Bragg-Williams approximation, where the critical temperature is most affected by thermal fluctuations.