Contribuições ao controle de variância mínima generalizado: abordagem de projeto no espaço de estados

Abstract

Neste trabalho, o controlador de Variância Mínima Generalizado, GMV, é desenvolvido no domínio de representações no espaço de estados, beneficiando-se de uma equivalência de seu preditor de variância mínima com uma solução particular do Filtro de Kalman, a qual caracteriza uma atraente abordagem por evitar a solução da equação de Diophantine. O procedimento de projeto se baseia na característica de que a estrutura do controlador é herdada do modelo de projeto, onde variáveis de estado estimadas, com significado ou comportamento físico compreensível, entram na síntese de uma lei de controle por realimentação de estados estimados. A complexidade da estrutura do controlador é então ditada pela complexidade do modelo de projeto, mas o procedimento de sintonia, mesmo para sistemas multivariáveis e com múltiplos atrasos assíncronos, é factível de ser executado e implementado. A idéia usada no GMV via realimentação de estados está focada no controlador GMV de ordem mínima, o qual é sintonizado por um único parâmetro escalar que pondera a energia empregada no sinal de controle. Mas como o conceito de variáveis de estado é introduzido, a lei de controle resultante é uma composição de diversos GMVs de ordem mínima, um para cada variável de estado considerada no problema. A base teórica para o desenvolvimento desse controlador por realimentação de estados estimados é um novo procedimento de projeto de controle GMV no espaço de estados, conhecido como GMVSS. Este procedimento difere do original, de Clarke e Gawthrop, via funções de transferência, mas fornecendo exatamente os mesmos resultados. A contribuição mais significativa do GMVSS é a simplicidade de obtenção do preditor devido a ausência da equação de Diophantine no procedimento de projeto. A Diophantine é resolvida indiretamente e de maneira natural pela própria formulação do problema, a partir do Filtro de Kalman obtido de uma representação ARMAX no espaço de estados, dispensando também a solução da equação a diferenças de Riccati para calcular o ganho de Kalman. A união dos resultados do GMVSS com a abordagem por realimentação de estados estimados, abre novas perspectivas de projeto de controle GMV com filtragem de Kalman de forma intrínseca e sintonia do controlador baseada em GMVs de ordem mínima operando paralelamente como em uma topologia de controle de múltiplas malhas.

In this work, the Generalized Minimum Variance controller, GMV, is developed within the state space framework, benefiting from an equivalence of its minimum variance predictor with a particular solution of the Kalman Filter, which characterizes an attractive approach since it avoids the Diophantine equation solution. The design procedure is based on the characteristic that the controller structure is inherited from the design model, where estimated state variables, with comprehensible physical meaning or behavior, come into play in the synthesis of a state-feedback control law. The complexity of the controller structure is then dictated by the complexity of the design model, but the tuning procedure, even for asynchronous multi-delayed multivariable systems, is feasible to be handled with a certain degree of simplicity. The main idea behind the state-feedback GMV controller is focused on the minimal order GMV controller, which is tuned by a single scalar parameter that weights the energy employed on the control signal. Since the state variable concept is introduced, the produced control law is the composition of several minimal order GMVs, each one to every state variable considered in the problem. The theoretical base used in the development of the estimated state-feedback controller is a new GMV state space design procedure, known as GMVSS. This procedure differs from the original transfer function method, of Clarke and Gawthrop, but matching exactly the same results. The most significant contribution of GMVSS is the simplicity of the predictor design, since it avoids the Diophantine equation solution. The Diophantine is indirectly solved in a natural way by the problem formulation itself, from a Kalman Filter obtained from an ARMAX state space representation, that also dismisses the Riccati difference equation solution to derive the Kalman gain. By putting together the GMVSS and the state-feedback approach results, leads to new design perspectives of GMV control with intrinsic Kalman filtering techniques and tuning of minimal order GMVs operating as if in a multi-loop control topology.