Teoria local das curvas

Abstract

O objetivo deste trabalho e estudar a teoria local das curvas, ou seja, estudar o comportamento de uma curva restrita a uma vizinhan ca de um ponto. Para isso dividimos o trabalho em quatro cap tulos. No primeiro cap tulo estudamos os conceitos fundamentais das curvas dando ^enfase para as curvas regulares e ilustramos com v arios exemplos. De nimos o comprimento de arco e mostramos que o mesmo e invariante por uma mudan ca de par^ametro e assim o introduzimos como um par^ametro ao longo de uma curva. No segundo cap tulo, associamos a cada curva duas quantidades escalares chamadas curvatura e tor c~ao. Para isso de nimos em cada ponto da curva um conjunto vetores que formam uma base ortonormal de R3 e s~ao denominados de refer^encial m ovel. A varia c~ao deste refer^encial nos informa o comportamento da curva numa vizinhan ca do ponto. No terceiro cap tulo, mostramos que o refer^encial m ovel satisfaz um sistema de equa c~oes chamadas de equa c~oes de Frenet. Como aplica c~ao das equa c~oes de Frenet, caracterizamos certas classes de curvas. Demonstramos o Teorema Fundamental de Exist^encia e Unicidade das Curvas, que e o objetivo principal desta monogra a. No quarto cap tulo restringimo-nos ao estudo de uma classe espec ca de curvas, as curvas de B ezier.