Estudo de invariantes em sistemas dinamicos continuos e não-lineares

Abstract

No presente trabalho investigamos vários aspectos relacionados com a existência de invariantes em sistemas dinâmicos contínuos e não-lineares. Apresentamos relações de recorrência para gerar os termos presentes nas densidades e fluxos da equação de Korteweg-de Vries e nas densidades da equação modificada de Korteweg-de Vries. Nossas relações são baseadas na observação empírica de que, para um dado rank r, o conjunto {P2r} de todas as partições do inteiro 2r contém todos os monômios de {Xr-1} e {Tr}. As relações são facilmente implementáveis em máquinas capazes de efetuar manipulações algébricas. Obtivemos, através de nossas relações de recorrência, quatro novos invariantes para a equação de Korteweg-de Vries e três para a equação modificada de Korteweg-de Vries. Testamos a validade de conjecturas estabelecidas recentemente por Torriani usando análise combinatorial. Além disso, analisamos três métodos encontrados na literatura recente para a obtenção de constante de movimento de equações de evolução não-lineares. São eles: uma relação entre constantes de movimento e equações variacionais; um procedimento para a obtenção de constantes de movimento associadas a cada simetria de Lie da equação diferencial que descreve o sistema; e a obtenção de novas constantes a partir de constantes conhecidas usando os operadores das transformações infinitesimais que deixam a equação de evolução invariante. São feitas aplicações destes métodos a equações conhecidas com ênfase em física atômica e óptica quântica.