Node-based shape optimization of shell structures subjected to time-harmonic loads for minimization of vibration active input power

Abstract

Este trabalho apresenta uma metodologia para a otimização de forma com parametrização nodal aplicada a estruturas de casca finas submetidas a excitações harmônicas, com o objetivo de minimizar a vibração estrutural em regimes de alta frequência. Para tal, um elemento finito de casca plano baseado na superposição dos elementos discrete Kirchhoff triangle (DKT) e constant strain triangle (CST) foi implementado em Python e validado por meio de soluções analíticas e resultados numéricos. Uma metodologia de otimização de forma foi desenvolvida usando coordenadas nodais como variáveis de projeto, permitindo a exploração de grandes espaços de projeto. A potência de entrada ativa foi escolhida como função objetivo, uma vez que fornece uma métrica global robusta da vibração estrutural e é particularmente apropriada para faixas de frequência com alta densidade modal. Uma análise de sensibilidade totalmente analítica das equações de equilíbrio dinâmico do elemento DKT-CST foi derivada usando o método adjunto, permitindo o cálculo eficiente dos gradientes apesar do grande espaço de projeto e possibilitando o uso do método das assíntotas móveis (MMA) para a otimização. Filtros foram empregados para garantir a regularidade da malha e permitir o controle da suavidade das formas otimizadas. A eficiência e flexibilidade da metodologia proposta foram demonstradas por meio de exemplos numéricos envolvendo uma casca esférica submetida a pressão distribuída e esforços concentrados. Os resultados consistentemente mostraram reduções significativas na função objetivo, frequentemente por várias ordens de magnitude, obtidas através da redistribuição de energia modal e da criação de largas faixas de baixa amplitude de resposta ao redor da frequência alvo, efetivamente substituindo picos ressonantes por regiões com resposta fortemente atenuada. A versatilidade do procedimento proposto também foi ilustrada em problemas de otimização multifrequência, integrando características geométricas distintas necessárias para suprimir vibrações em diferentes regiões do espectro de frequência simultaneamente. Além disso, foi demonstrado que as reduções na potência de entrada ativa são correlacionadas com reduções correspondentes na energia cinética estrutural, confirmando que a função objetivo é eficaz na redução da velocidade superficial média e indicando potencial aplicação na minimização do ruído radiado. Através de um estudo paramétrico, demonstrou-se que as características geométricas das formas otimizadas podem ser controladas por um pequeno grupo de parâmetros de entrada, variando desde geometrias com múltiplas variações de curvatura localizadas até propostas praticamente indistinguíveis da forma original, porém com melhor desempenho dinâmico. Em conclusão, a metodologia desenvolvida fornece uma estratégia eficiente para reduzir a vibração em estruturas de casca finas através de modificações geométricas, oferecendo uma abordagem que equilibra liberdade de projeto e eficiência computacional.

Abstract: This work presents a methodology for the node-based shape optimization of thin shell structures subjected to time-harmonic excitations, with the objective of minimizing structural vibration in high-frequency regimes. To achieve this goal, a flat shell finite element based on the superposition of the discrete Kirchhoff triangle (DKT) and the constant strain triangle (CST) was implemented in Python and validated against analytical solutions and verified numerical results. A shape optimization framework was developed using nodal coordinates as design variables, allowing for a large design space. The active input power was adopted as the objective function, as it provides a robust global metric of structural vibration levels and is particularly suitable for frequency ranges with high modal density. A fully analytical sensitivity analysis of the dynamic equilibrium equations of the DKT-CST element was derived using the adjoint method, enabling efficient gradient computation despite the large design space and allowing the use of the method of moving asymptotes (MMA) for optimization. Filtering techniques were employed to ensure mesh regularity and to control the smoothness of the resulting shapes. The effectiveness and flexibility of the proposed methodology were demonstrated with numerical examples involving a spherical shell subjected to both distributed pressure fields and point loads. The results consistently demonstrated significant reductions in the objective function, often by several orders of magnitude, achieved through the redistribution of modal energy and the creation of wide low-vibration bandgaps around the target frequency, effectively replacing resonant peaks with regions of strongly attenuated response. The proposed framework also proved versatile for multi-frequency optimization problems, seamlessly integrating the distinct geometric features required to suppress vibrations in different regions of the frequency spectrum. Furthermore, the bandgaps in the active input power were shown to be directly correlated with corresponding bandgaps in the structural kinetic energy, confirming that the objective function effectively reduces the mean squared surface velocity and suggesting potential applicability for minimizing the radiated noise. With a detailed parametric study, it was also shown that the geometric characteristics of the optimized shapes can be controlled through a small set of input parameters, ranging from geometries with multiple localized curvature variations to designs nearly indistinguishable from the original shape, but with improved dynamic performance. In conclusion, the developed methodology provides an effective strategy for reducing vibration in thin shell structures through geometric modification, offering a balanced approach between design freedom and computational efficiency.