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Abstract:
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AFatoração Não-Negativa de Matrizes (NMF) é uma técnica de redução de dimensio
nalidade que impõe a não negatividade aos fatores. Este trabalho investiga a NMF do
ponto de vista da otimização contínua, formulando o problema como a minimização
da distância, com respeito à norma de Frobenius, entre a matriz de dados e o produto
de dois fatores não-negativos. São estudados dois algoritmos iterativos inspirados
no método de minimizações alternadas: o método das Atualizações Multiplicativas,
proposto por Lee e Seung (2001), e o método de Minimizações Alternadas com Gradi
ente Projetado, baseado nos trabalhos de Lin (2007). Mostra-se que a função objetivo
é convexa em cada bloco de variáveis separadamente, mas não é conjuntamente con
vexa. Para o método de Lee e Seung, demonstra-se a monotonicidade da função
de custo por meio de funções auxiliares; contudo, não há garantia de convergência a
pontos estacionários. Para o método de Lin, estabelece-se a convergência a pontos
estacionários do problema com restrições de caixa utilizando um resultado de Grippo
e Sciandrone (2000). Além disso, propõe-se uma heurística para a escolha de cotas
superiores, baseada nas condições de Karush-Kuhn-Tucker do problema original, a
f
im de tornar a região viável compacta. Experimentos numéricos com matrizes sin
téticas e em uma aplicação ao reconhecimento de faces mostram que o método de
Lin apresenta melhor performance, obtendo acurácia superior na classificação, com
erros de reconstrução comparáveis aos do método multiplicativo. Os resultados re
forçam a importância da fundamentação teórica na escolha do algoritmo e indicam
possibilidades para trabalhos futuros. |
