Inversion and power calculation through the Allan Variance and its equivalents in all domains

Abstract

A medição precisa do tempo e a estabilidade de frequência são fundamentais em diversas áreas da ciência e da engenharia, incluindo sistemas de navegação, telecomunicações e experimentos de alta precisão, pois pequenas flutuações em osciladores e relógios de alta precisão podem gerar erros significativos em aplicações críticas. Para caracterizar essas instabilidades, utilizam-se variâncias de estabilidade temporal, como a variância de Allan (AVAR), a variância de Allan modificada (MVAR), a variância de Hadamard (HVAR) e a variância parabólica (PVAR), tradicionalmente aplicadas no estudo do problema direto, isto é, na predição do comportamento das variâncias a partir da densidade espectral de potência (PSD) do sinal. Este trabalho aborda o problema inverso, investigando em que medida é possível recuperar informações sobre o sinal original e sua PSD a partir de variâncias conhecidas. No caso contínuo infinito, foi definida uma classe mais geral de variâncias, denominadas variâncias Tau f, à qual pertencem todas as variâncias consideradas (AVAR, HVAR, MVAR e PVAR), para a qual foram deduzidas fórmulas de inversão e cálculo de potência. No caso discreto infinito, foram desenvolvidos métodos de inversão e cálculo de potência igualmente válidos para essas variâncias, com exceção da PVAR, para a qual foram obtidos resultados parciais. Por fim, o caso finito determinístico, no qual se considera uma sequência finita e determinística em vez de um processo aleatório, foi analisado, apresentando-se uma prova parcial que demonstra a impossibilidade de realizar a operação de cálculo de potência, uma vez que a inversão é trivialmente inviável nesse contexto. Esses resultados contribuem para uma compreensão mais profunda dos limites e das possibilidades de inferir propriedades de sinais a partir de variâncias de estabilidade, com potenciais aplicações em metrologia do tempo e da frequência, na análise de ruído em osciladores de alta precisão e no desenvolvimento de novos estimadores estatísticos de propriedades do sinal a partir de medições baseadas em variâncias.

The precise measurement of time and frequency stability is fundamental in various areas of science and engineering, including navigation systems, telecommunications, and high-precision experiments, as small fluctuations in oscillators and high-precision clocks can lead to significant errors in critical applications. To characterize these instabilities, temporal stability variances such as the Allan variance (AVAR), the Modified Allan variance (MVAR), the Hadamard variance (HVAR), and the Parabolic variance (PVAR) are commonly used, traditionally applied to the study of the direct problem, i.e., predicting the behavior of the variances from the signal’s power spectral density (PSD). This work addresses the inverse problem, investigating to what extent it is possible to recover information about the original signal and its PSD from known variances. In the infinite continuous case, a more general class of variances, called Tau f-variances, was defined, to which all the variances considered (AVAR, HVAR, MVAR, and PVAR) belong, and for which inversion and power calculation formulas were derived. In the infinite discrete case, inversion and power calculation methods were developed that are also valid for these variances, with the exception of PVAR, for which partial results were obtained. Finally, the finite deterministic case, in which a finite deterministic sequence is considered instead of a random process, was analyzed, presenting a partial proof demonstrating the impossibility of performing the power calculation operation, since inversion is trivially unfeasible in this context. These results contribute to a deeper understanding of the limits and possibilities of inferring signal properties from stability variances, with potential applications in time and frequency metrology, noise analysis in precision oscillators, and the development of novel statistical estimators for signal properties derived from variance-based measurements.