Sistemas dinâmicos diferenciáveis: hiperbolicidade e teoria ergódica

Abstract

Neste trabalho exploramos o conceito de hiperbolicidade em sistemas dinâmicos diferenciáveis, isto é, quando o espaço de fases é uma variedade diferenciável e a regra de evolução é dada por um difeomorfismo agindo na variedade. Estudamos propriedades fundamentais desses sistemas, como a existência de variedades estáveis e instáveis e a persistência da hiperbolicidade sob pertubações. Além disso, trabalhamos a noção de ergodicidade no caso do difeomorfismo ser hiperbólico em toda variedade e conservativo. Por fim, discutimos generalizações da noção de hiperbolicidade, como a decomposição dominada e a hiperbolicidade parcial, apresentando a conjectura de Pugh?Shub sobre ergodicidade em sistemas parcialmente hiperbólicos.

Abstract: In this work we explore the concept of hyperbolicity in differentiable dynamical systems, that is, when the phase space is a differentiable manifold and the evolution rule is given by a diffeomorphism acting on the manifold. We study some fundamental properties of these systems, such as the existence os stable and unstable manifolds and the persistence os hyperbolicity under pertubations. Moreover, we go through the notion of ergodicity in the case of the diffeomorphism being hyperbolic on the whole manifold and conservative. Finally, we discuss generalizations of the notion of hyperbolicity, such as dominated splitting and partial hyperbolicity, presenting the Pugh?Shub conjecture on ergodicity in partially hyperbolic systems.