A fractional order approach for the unsteady stokes equations

Abstract

Neste trabalho, apresentamos uma nova formulação variacional para o estudo das equações de Stokes não estacionárias em um domínio Omega, Lipschitz aberto e limitado, subconjunto de R^{n}, envolvendo uma derivada fracionária de Caputo no tempo de ordem alpha em (1/2,1). A natureza não local da derivada fracionária impõe desafios analíticos significativos, tornando os métodos clássicos, como a abordagem de Faedo?Galerkin, inadequados em sua forma padrão para uma análise abrangente do problema. Para superar essas dificuldades, desenvolvemos e analisamos rigorosamente novos espaços funcionais, denotados por L_{\alpha}^{p}(0,T;X), especificamente concebidos para o contexto fracionário. Esses espaços per\-mi\-tem reformular as soluções fracas de modo consistente com a dinâmica fracionária, possibilitando, assim, a implementação bem-sucedida de um esquema de Galerkin generalizado que garante a existência e unicidade das soluções da formulação proposta.

Abstract: In this work, we present a new variational framework for studying the evolution Stokes equations in an open, bounded Lipschitz domain Omega subset of R^{n}, involving a Caputo fractional derivative in time of order alpha in (1/2,1). The nonlocal nature of the fractional derivative poses significant analytical challenges, rendering classical methods, such as the Faedo?Galerkin approach, inadequate in their standard form for a comprehensive analysis of the problem. To overcome these difficulties, we develop and rigorously analyze new functional spaces, denoted by L_{\alpha}^{p}(0,T;X), specifically designed for the fractional setting. These spaces allow us to reformulate weak solutions in a manner consistent with the fractional dynamics, thereby enabling the successful implementation of a generalized Galerkin scheme that ensures the existence and uniqueness of solutions to the proposed formulation.