Algoritmos proximais e de decomposição proximal inexatos e fortemente convergentes com efeitos de inércia

Abstract

Nesta tese, propomos e analisamos uma versão inercial do algoritmo de Solodov e Svaiter (2000) para resolver problemas de inclusão monótonos. Provamos a convergência forte global não assintótica, bem como sua complexidade iterativa (taxa de convergência). Determinamos condições suficientes sobre os parâmetros inerciais para garantir a convergência e a complexidade iterativa, mostrando que essas condições são mais flexíveis em comparação com outros métodos inerciais existentes. Como aplicação, utilizamos essa abordagem para obter métodos inerciais com passos do tipo forward-backward e Korpelevich para resolver problemas de inclusão monótonos estruturados. Para resolver problemas de inclusão monótonos envolvendo a soma de n operadores monótonos maximais compostos, apresentamos e estudamos uma versão inercial baseada no método de decomposição projetivo de Eckstein e Svaiter (2009). Estabelecemos também as condições sobre os parâmetros inerciais que asseguram a convergência forte e a complexidade iterativa. Pro fim, o método proposto é aplicado para obter versões inerciais de métodos do tipo forward-backward para resolver problemas de inclusão monótonos estruturados.

Abstract: In this thesis, we propose and analyze an inertial version of the algorithm of Solodov and Svaiter (2000) for solving monotone inclusion problems. We demonstrate global non-asymptotic strong convergence, as well as its iteration complexity (rate of convergence). We determine sufficient conditions on the inertial parameters to guarantee both convergence and iteration complexity, showing that these conditions are more flexible compared to other existing inertial methods. As an application, we use this approach to derive inertial methods with forward-backward and Korpelevich-type steps for solving structured monotone inclusion problems. To solve monotone inclusion problems involving the sum of n composed maximal monotone operators, we present and study an inertial version based on the projective splitting method of Eckstein and Svaiter (2009). We also establish the conditions on the inertial parameters that ensure strong convergence and iteration complexity. Finally, the proposed method is applied to derive inertial versions of forward-backward-type methods for solving structured monotone inclusion problems.