Métodos numéricos para a solução de sistemas lineares esparsos

Abstract

A equação de Poisson é uma equação diferencial parcial (EDP) elíptica que aparece frequentemente em modelos matemáticos, como o problema da distribuição de um potencial eletrostático ou na solução da equação de Navier-Stokes em escoamentos incompressíveis. Poucas EDP's possuem métodos analíticos de solução. Por isso, soluções aproximadas por métodos numéricos, são interessantes para a resolução dos problemas que estas equações modelam. Um destes métodos é o método das diferenças finitas. A ideia geral do método de diferenças finitas é discretizar o domínio, substituindo as derivadas presentes na equação diferencial, por uma equação algébrica denominada Equação de Diferenças Finitas (EDF). O objetivo do presente trabalho é avaliar a eficiência de métodos iterativos para a solução do sistema linear oriundo da discretização da equação de Poisson, em um domínio quadrado com condições de contorno Dirichlet. Foram avaliados os métodos iterativos de Gauss-Seidel, Multigrid em suas variantes V-Ciclo, W-Ciclo e F-Ciclo e métodos do tipo Gradiente na solução do sistema linear oriundo da discretização. A validação dos métodos ocorreu por meio da análise de convergência. Todos os métodos foram implementados pelos autores, em linguagem C. Foram executados em um sistema Intel Core i5-1235U, com 16 GB de memória RAM.