Transverse geometry of semi-Riemannian foliations and Lorentzian geometry on leaf spaces

Abstract

Neste trabalho estudamos alguns aspectos da geometria transversa das folheações semi-Riemannianas e de folheações transversalmente afins. Provamos um teorema do diâmetro transverso no contexto de folheações Lorentzianas, que pode ser interpretado como um teorema de singularidade tipo Hawking?Penrose para geodésicas tipo-tempo transversas à folheação. Provamos um teorema de recobrimento transverso no contexto de folheações afins, que pode ser visto como um teorema de Hadamard para folheações afins. Para desenvolver o maquinário técnico necessário, introduzimos e estudamos uma nova estrutura causal no espaço de folhas através da geometria Lorentziana transversa na variedade folheada. Introduzimos a assim chamada ?estrutura afim transversa? em uma folheação, a qual permite investigar aspectos da geometria afim do espaço de folhas. Descrevemos alguns degraus iniciais de uma escada causal transversa e os relacionamos com suas contrapartes padrão no espaço-tempo folheado. Mostramos como esses resultados podem ser interpretados como o estudo de geometria Lorentziana (e mais geralmente semi-Riemanniana) em espaços de baixa regularidade que podem ser realizados como espaços de folhas de folheações. Correspondentemente, discutimos como todos esses conceitos e resultados se aplicam para orbifolds Lorentzianos e afins, na medida em que eles podem ser vistos como espaços de folhas de uma classe específica de folheações. Em particular, derivamos um teorema do diâmetro temporal para orbifolds Lorentzianos e um teorema de Hadamard para orbifolds afins.

Abstract: We study some aspects of the geometry of semi-Riemannian foliations and of transversely affine foliations. We prove a transverse diameter theorem in the context of Lorentzian foliations, which can be interpreted as a Hawking-Penrose-type singularity theorem for timelike geodesics transverse to the foliation. We prove a transverse cover theorem in the context of affine foliations, which can be seen as a Hadamard theorem for affine foliations. In order to develop the necessary technical machinery we introduce and study a novel causality structure on the leaf space via the transverse Lorentzian geometry on the foliated manifold. We introduce the so called "transverse affine structure" on a foliation, which enables one to investigate aspects of the affine geometry of the leaf space. We describe the initial rungs of a transverse causal ladder and relate them to their standard counterparts on an underlying foliated spacetime. We show how these results can be interpreted as doing Lorentzian (and more generally semi-Riemannian) geometry on low-regularity spaces that can be realized as leaf spaces of foliations. Accordingly, we discuss how all of these concepts and results apply to Lorentzian and affine orbifolds, insofar as these can be seen as leaf spaces of a specific class of foliations. In particular, we derive a Lorentzian timelike diameter theorem on orbifolds and a Hadamard theorem for affine orbifolds.