Dynamic extension of Davies' Method based on hyper-dual quaternions

Abstract

O trabalho apresenta uma Extensão Dinâmica do Método de Davies, uma metodologia inovadora e algoritmizável para calcular as Equações de Newton-Euler de mecanismos, utilizando Quatérnios Duais, Números Hiper-Duais e Teoria dos Helicóides Sucessivos. Baseada no Método de Davies, que aborda as equações da Cinetostática, a solução proposta complementa essa abordagem ao focar nas equações dinâmicas, permitindo a obtenção das Equações de Movimento e Forças Internas. Ambos os métodos são aplicáveis para cadeias abertas e fechadas, permitem considerar componentes cinemáticos com valores conhecidos e incluem forças externas. Para validar a metodologia, foi desenvolvida uma biblioteca computacional em Rust, capaz de simular mecanismos em 2D com informações mínimas sobre elos e juntas. Essa biblioteca incorpora técnicas avançadas como o Método dos Helicóides Sucessivos e o uso de Quatérnios Duais e Hiper-Duais, fazendo utilização da propriedade de Diferenciação Automática dos Números Duais. A validação do método utiliza oito mecanismos com diferentes características, incluindo cadeias abertas e fechadas, com ou sem forças externas e com acelerações conhecidas ou desconhecidas. Os resultados apresentam consistência e mostam a capacidade de lidar com mecanismos complexos a partir de dados mínimos necessários para a simulação. O trabalho atinge seus três objetivos principais: apresentar Quatérnios Duais como um framework completo para representar e operar movimentos de corpos rígidos, equacionar a Extensão Dinâmica do Método de Davies como solução para equações dinâmicas de mecanismos e validar o método por meio de uma bibioteca amplamente utilizável, servindo como referência para a aplicação do método para sistemas complexos 2D ou 3D.

Abstract: This work presents the Dynamics Extension of Davies Method, an innovative and algorithmizable methodology to compute the Newton-Euler Equations of a mechanism, using Dual Quaternions, Hyper-Dual Numbers and Successive Screws Theory. Based on Davies Method, which formulates the kinetostatics equations, the proposed solution complements the former by focusing on the dynamics equations, arriving at the Motion Equations and Internal Equations of a mechanism. Both methods are applicable to open and closed chains, allow the use of kinematics components with known values and include external forces. To validate the proposed methodology, a computational library written in Rust was developed, able to simulate mechanical systems in 2D with minimal information from the joints and links. The library incorporates advanced techniques such as Successive Screws Methods and both Dual and Hyper-Dual Quaternions, making use of the Automatic Differentiation property of Dual Numbers. The validation of the proposed method is made through the simulation of eight mechanisms with different properties: open or closed chains, with or without external forces and having known and/or unknown joint accelerations. The results show consistency and the capacity to simulate complex mechanisms from basic information. The work reaches its three main goals: to present Dual Quaternions as a complete framework for representing and operating on rigid bodies, to obtain the dynamic equations of mechanisms through the formulation of the Dynamics Extension of Davies Method and to validate the proposed method through a computational library usable as a reference to the method application for complex systems in 2D or 3D.