Explorando contrações com uma abordagem visual para o Teorema do Ponto Fixo de Banach

Abstract

Este trabalho aborda o Teorema do Ponto Fixo de Banach, também conhecido como teorema do ponto fixo de contração. É apresentada uma demonstração detalhada do teorema, fundamentada nas propriedades das métricas e das contrações. Após essa abordagem clássica, explora-se uma aplicação bastante interessante em que se busca achar pontos em comum entre uma imagem e uma redução dela. O que garante a existência e unicidade de um ponto de interseção, denominado Ponto Fixo, entre uma contração da imagem sobreposta a original é justamente o Teorema do Ponto Fixo de Banach. Esta aplicação ilustra o teorema de maneira prática, simples e intuitiva. Além disso, é possível encontrar o respectivo ponto fixo algoritmicamente. Por fim, é proposto uma sequência didática focada em transformações geométricas, integrando conceitos do Teorema do Ponto Fixo de Banach. Esta sequência didática visa proporcionar uma compreensão visual das transformações geométricas através da lente das contrações e pontos fixos, tornando o aprendizado mais acessível e interessante para os alunos. Esta dissertação, portanto, não só demonstra a robustez teórica do Teorema do Ponto Fixo de Banach, mas também evidencia sua aplicabilidade em diversos campos da matemática e seu potencial didático.

Abstract: This work addresses the Banach Fixed-Point Theorem, also known as the contraction mapping theorem. Initially, a detailed proof of the theorem is presented, based on the properties of metrics and contractions. After this classical approach, we explore a very interesting application in which we seek a common point between an image and a reduction of it. What guarantees the existence and uniqueness of an intersection point, called fixed point, between a contraction of the image superimposed on the original one is precisely Banach Fixed-Point Theorem. This application Illustrates the theorem in a practical, simple and intuitive way. Furthermore, it is possible to fi nd the respective fi xed point algorithmically. Finally, a didactic sequence focused on geometric transformations is proposed, integrating concepts of the Banach Fixed-Point Theorem. This teaching sequence aims to provide a visual understanding of geometric transformations through the lens of contractions and fi xed points, making learning more accessible and interesting for students. This dissertation, therefore, not only demonstrates the theoretical robustness of Banach Fixed-Point Theorem, but also highlights its applicability in different fields of mathematics and its didactic potential.