Frações contínuas: aplicações em álgebra e aritmética

Abstract

A representação dos números reais por meio de frações contínuas é composta por uma parte inteira e uma parte decimal, em que a parte decimal é escrita na forma de frações com numerador unitário e denominada expressa por meio de soma de números inteiros e frações também de numerador unitário. Seu estudo teve início na volta do século XVI e tem aplicações em Álgebra e Aritmética, permitindo aproximação de números irracionais por meio de racionais. Nenhum estudo dessas aplicações são exploradas equações diofantinas lineares, de Pell, congruências, determinantes, e análise de números algébricos por meio do Teorema de Liouville. A representação em frações contínuas de números racionais é realizada pelo Algoritmo da Divisão, enquanto para os irracionais é infinito e, para os números quadráticos (que são raízes de uma descoberta do 2 grau), periódica, o que é crucial para a resolução das equações de Pell. A possibilidade de implementação do estudo de frações contínuas nas etapas finais do ensino fundamental e no médio é discutida, com base na Base Nacional Comum Curricular, e o trabalho é finalizado com uma proposta didática para o ensino desses conceitos.

Abstract: The representation of the real numbers by means of continued fractions is composed by an integer part and a decimal part, in which the decimal part is written in a fraction form with a unitary numerator and denominator, expressed by the sum of the integers and fractions, also with a unitary numerator. The studies began around the 16th century and are applicated in Algebra and Arithmetic, allowing the approximation of irrational numbers through rational ones. In these studies, linear Diophantine and Pell?s equation, congruences, determinants and the analysis of the algebraic numbers through Liouville?s Theorem are explored. The representation in continued fractions of rational numbers is carried out by the Division Algorithm, while for irrational numbers is infinite and for quadratic numbers (that are roots of a 2nd degree equation) it is periodic, which is crucial to solve Pell?s equation. The possibility of implementing the continued fractions studies in final stages of primary and secondary education is discussed based on the National Common Curricular Base, and this study ends with a didactic proposal of teaching these concepts.