Um modelo não linear para a solução de problemas de poroelasticidade utilizando um esquema numérico conservativo

Abstract

A teoria da poroelasticidade surge do acoplamento entre o balanço de forças na estrutura sólida de um meio poroso com a mecânica do fluido escoando dentro deste meio. Ela possui uma vasta gama de aplicações pelas quais desperta um crescente interesse em diversos pesquisadores. O primeiro modelo matemático para a solução de problemas de poroelasticidade foi proposto por Biot em 1941, o qual ainda hoje é utilizado como referência para a elaboração de novos modelos. Muitos trabalhos que utilizam o modelo de Biot simplificam as variações de porosidade e densidade e desconsideram por completo as variações espaciais destas propriedades. As simplificações desta abordagem reduzem drasticamente a complexidade do problema e os custos computacionais associados à sua solução numérica, no entanto, elas também limitam a variedade de situações nas quais este modelo pode ser aplicado. Neste trabalho uma abordagem diferente será proposta, na qual as simplificações previamente mencionadas não serão aplicadas, obtendo assim um modelo mais geral o qual não é limitado pelas hipóteses simplificativas. Para a correção dos valores do campo de densidades será utilizado um modelo em função da pressão do fluido, enquanto que para a porosidade será utilizada uma expressão baseada no modelo de Biot. Ademais, para garantir uma solução numericamente conservativa será utilizado o Método de Volumes Finitos Baseado em Elementos (EbFVM). Os resultados mostram que as hipóteses do modelo linear nem sempre são válidas, sugerindo portanto que utilizar o modelo não linear é uma abordagem mais consistente. Adicionalmente, o uso de uma técnica de estabilização para resolver um importante problema de benchmark é também demonstrado neste trabalho.

Abstract: Poroelasticity arises from the coupling between solid mechanics of a porous skeleton and fluid mechanics of the fluid flowing inside it. It has a wide range of applications from which researchers have shown an increasing interest. The first known poroelasticity model was proposed by Biot in 1941 and to this day is still used as a reference for the development of new models. A common approach for the physical phenomenon model deduction is to simplify porosity and density variation and to completely disregard their spacial variation. These hypotheses greatly reduce the problem complexity and computational costs, however, they also narrow the model?s range of applications. In this work a different approach is proposed, the simplifications previously stated are not applied and a model that is not restricted by these hypotheses is obtained. Density is described by a relation based on pressure, and porosity is obtained in terms of pressure and volumetric strains, following Biot?s theory. Furthermore, the Element-based Finite Volume Method (EbFVM) is used and will ensure that the numerical solutions are conservative. Results revealed that the traditional approach hypotheses are not always fulfilled, which highlights the importance of the nonlinear model. Additionally, novel results regarding the use of stabilization techniques to solve an important benchmark problem is also shown.