Estudo sobre aplicação de otimização topológica ao problema de análise limite para obtenção de componentes estruturais

Abstract

Há mais de duas décadas o problema de Otimização Topológica (OT) tem sido amplamente estudado, desenvolvendo-se diferentes formulações de algorítmo de otimização, variados métodos de solução, e alternando-se os problemas físicos nos quais baseia-se o problema de busca de ótimo. Tratando-se do problema físico, a aplicação mais comum se dá no campo da otimização estrutural, no qual o processo mais explorado consiste na busca da redução da flexibilidade de uma estrutura, respeitando uma quantidade de massa disponível para a solução do problema. Mais recentemente tem-se abordado o uso de OT com o objetivo de minimizar a massa de estruturas, com restrições baseadas no campo de tensão da análise. Contudo, ainda versa-se pouco a respeito de OT aplicada à problemas envolvendo processos de deformação plástica, e menos ainda a respeito da aplicação deste método à casos nos quais busca-se o limite plástico de estruturas. Tendo isto em vista, esta dissertação aborda o emprego de Otimização Topológica à estruturas nas quais se aplica o problema de Análise Limite, cuja solução fornece o estado de colapso plástico e a carga limite de um corpo submetido a um perfil de carregamento. Para isto, utiliza-se o método SIMP como técnica de otimização, com solução obtida através de programação matemática com uso do método do Lagrangeano Aumentado. Duas formulações do problema são exploradas, sendo elas: maximização de fator de colapso com restrição de massa (P1), e minimização de massa com restrição de fator de colapso (P2). Diversos exemplos são solucionados, com base nas análises apresentadas no trabalho de (FIN; BORGES; FANCELLO, 2018), mostrando a aplicabilidade das formulações propostas, assim como suas vantagens e desvantagens em relação àquela apresentada no trabalho utilizado como referência. A formulação do problema P1 mostrou-se mais capaz de alcançar maiores valores de fator de colapso do que os encontrados no trabalho de referência. Já o problema P2 alcançou mínimos próximos, ou até melhores, que àqueles alcançados em P1, com o limite mínimo de fator de colapso imposto em P2 sendo o mesmo que o valor máximo encontrado em P1, em um mesmo exemplo. Desta forma, considera-se que o uso de uma abordagem baseada em programação matemática foi capaz de prover maior versatilidade na escolha do problema de ótimo. Em contrapartida, os algorítmos escolhidos para a solução dos problemas necessitaram de um número superior de iterações para definição de uma topologia final, em relação ao algorítmo baseado em heurística utilizado em (FIN; BORGES; FANCELLO, 2018). Além disto, foi necessário o uso de uma técnica de projeção aliada a uma abordagem de continuação para obtenção de uma topologia bem definida, o que tornou o problema mais complexo e menos eficiente.

Abstract: For over two decades, the Topology Optimization (TO) problem has been widely studied, with developments in the formulation of optimization algorithm, in the methods employed to obtain the solution and in the physical problem in which the optimization problem is based. The most common application is in the structural optimization field, in which the most explored problem is the search for the minimum compliance of a structure, with an upper bound constraint in the amount of material available to the solution. Recently, the application of the TO method in different structural problems has been taken in account, as the mass reduction of a body with constraints in its stress field. However, there are few studies about Topology Optimization applied to inelastic bodies, and even less about the use of the TO method in bodies in which the plastic limit is considered. Based on what was exposed, this thesis concerns the application of the Topology Optimization method to structures analyzed by the Limit Analysis theory, which solution provides the collapse state and the limit load of a body submitted to a load profile. The SIMP optimization algorithm is used, with its solution provided by a mathematical programming approach, using the Augmented Lagrange method. Two optimization problems were formulated: the maximization of the collapse factor with an upper bound constraint in the available material (P1), and the mass minimization with a lower bound constraint in the collapse factor (P2). Many cases were analyzed, taking as example the ones presented by (FIN; BORGES; FANCELLO, 2018), and the results were compared to show the applicability and the advantages and disadvantages of the proposed formulations. For the problem P1, the formulation proposed in this work achieved higher values of collapse factor than the ones presented in the reference work. Meanwhile, the problem P2 achieved the same optimums results, or even better in some cases, than those reached with the use of P1 formulation, with the minimum limit to the collapse factor settled in P2 being the same as the maximum value obtained in P1 in the same example. Therefore, it is considered that the use of a mathematical programming approach was able to provide more versatility in the selection of the optimization problem. However, the optimization routines used to solve the problem resulted in a greater number of iterations to obtain a topology when compared to the heuristic algorithm used in (FIN; BORGES; FANCELLO, 2018). Furthermore, the use of a projection method paired with a continuation approach was needed to achieve a well-defined topology, which contributed to make the problem more complex and less efficient.