A stabilization technique for treating numerical instabilities in three-dimensional poroelasticity

Abstract

Esta tese apresenta uma formulação numérica unificada para a soluçãode problemas de poroelasticidade (geomecânica) acoplada. O Métododos Volumes Finitos baseado em Elementos é utilizado para a obtençãodas equações discretizadas do modelo matemático. Além disso, ametodologia numérica é aplicada a malhas não estruturadas tridimensionais,compostas por diferentes tipos de elementos, a saber: tetraedros,hexaedros, prismas e pirâmides. A formulação numérica obtida, portanto,além apresentar alta flexibilidade geométrica para a discretizaçãode geometrias complexas, também garante a conservação da massa e dequantidade de movimento localmente em cada volume de controle damalha computacional. A contribuição principal do presente trabalho, noentanto, reside em propor uma técnica de estabilização no âmbito dosvolumes finitos. Emproblemas de poroelasticidade existe uma condiçãocrítica, denominada consolidação não drenada, que produz oscilaçõesespúrias nos campos de pressão e deslocamento quando determinadasformulações numéricas são empregadas. Uma forma de se resolver esteproblema é a utilização de técnicas de estabilização. Existem inúmerastécnicas já desenvolvidas empregando o método dos elementos finitos,mas não foi encontrada na literatura nenhuma estratégia de estabilizaçãono âmbito dos volumes finitos. A alternativa proposta nesta teseé utilizar o chamado Physical Influence Scheme (PIS) para aproximar ovetor velocidade da fase sólida presente na equação de conservação damassa para meios porosos deformáveis. Essa técnica foi originalmentedesenvolvida para a solução de escoamentos incompressíveis governadospelas equações de Navier-Stokes. O presente trabalho identifica as semelhançasentre problemas de consolidação não drenada e escoamentosincompressíveis justificando, assim, o emprego do PIS também em problemasde poroelasticidade, o que caracteriza o aspecto inovador destatese. Os resultados apresentados mostram que, de fato, a formulaçãonumérica não estabilizada produz campos de pressão com a presençade oscilações espúrias, desprovidas de sentido físico. O uso do PIS, noentanto, é capaz de eliminar tais inconsistências, produzindo soluçõessuaves e livres de instabilidades. Para os casos de malhas compostas por elementos prismáticos e piramidais, notou-se que o cálculo do comprimentodifusivo, utilizado no PIS, é uma etapa que pode ser aperfeiçoadaem trabalhos futuros.

Abstract : This thesis presents an unified numerical formulation for solving coupledporoelasticity (geomechanics) problems. The Element based FiniteVolume Method is employed for obtaining the algebraic representationof the model equations. Additionally, the numerical methodology isapplied to three-dimensional unstructured grids composed of differenttypes of elements, namely: tetrahedra, hexahedra, prisms and pyramids.The resulting numerical scheme, therefore, besides ensuring mass andmomentum conservation for each control volume of the grid, it alsopresents great geometrical flexibility for discretizing complex geometries.The main contribution of the present work, however, is to propose a stabilizationtechnique in the finite volume framework. In poromechanicsthere is a critical situation, knownas undrained consolidation, that causesspurious oscillations to be observed in the pressure and displacementfields when some numerical schemes are employed. An alternative tocircumvent this problem is to employ a stabilization technique. Thereare quite a few stabilization techniques using the finite element method,but none has been found in the literature that employs a finite volumeformulation. The strategy proposed in this thesis is to use the PhysicalInfluence Scheme (PIS) for approximating the velocity vector of the solidphase that appears in the mass conservation equation for deformableporous media. This technique was originally developed for solving incompressiblefluid flows governed by the Navier-Stokes equations. Thepresent work identifies some similarities between incompressible fluidflows and undrained consolidation in order to back up the applicationof PIS in poroelasticity as well. This particular point has been found tobe a novelty and characterizes the inovative aspect of this thesis. The resultsshowthat, indeed, the non-stabilized formulation provides pressurefields with spurious oscillations devoid of physical meanings. The use ofPIS, however, is capable of mitigating such inconsistencies and producesstable and smooth solutions. In cases where grids composed of pyramidsor prisms are employed, it is observed that further improvements shouldbe undertaken for computing the diffusive length in order for the PIS tobe fully effective.