Condições necessárias e suficientes para a realização de um conjunto de distâncias através de determinantes de Cayley-Menger

Abstract

A Geometria de Distâncias é o estudo da geometria Euclidiana baseada nas distâncias entre determinados objetos. Esse ramo da matemática tem apresentado diversas aplicações que abrangem as áreas da robótica, geometria molecular, redes de comunicações entre outras. O problema de Geometria de Distância consiste em determinar o posicionamento dos objetos no espaço euclidiano conhecidas somente algumas distâncias. Neste trabalho estudamos conceitos essenciais nesta área, como grafos, matriz de distâncias e o determinante de Cayley-Menger Resolvemos alguns problemas simples por construção geométrica e apresentamos o teorema que determina as condições necessárias e suficientes para a realização de um conjunto completo de distâncias. O principal objetivo desse trabalho é demonstrar este teorema de forma detalhada.<br>

Abstract : Distance Geometry is the study of Euclidean geometry based on the distances between certain objects. This branch of mathematics has presented several applications covering some areas like robotics, molecular geometry, communication networks and many others. The fundamental problem in distance geometry is the one of determining the position of some objects at the Euclidean space knowing only a few pairwise distances. We study essential concepts in this area, such as graphs, distance matrix and the Cayley-Menger's determinant. We conducted experiments of embenddings by geometric construction and present the theorem that states the necessary and sucient conditions for the realization of a complete set of distances. The aim of this work is to present a detailed proof of such theorem.